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Questão de Matemática Financeira — Conceitos fundamentais de Matemática Financeira — CESPE / CEBRASPE 2018

Matemática FinanceiraConceitos fundamentais de Matemática Financeira
Código
ce100604
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
SEFAZ-RS
Ano
2018
Nível
Superior
Cargo
CESPE - - Auditor do Estado - Bloco II
Um pai, preocupado em compor recursos para a educação superior de seu filho, idealizou juntar dinheiro em uma conta investimento que rende 8% ao ano. O pai depositaria, durante nove anos, R$ 24.000 por ano nessa conta, para que o filho fizesse cinco saques de valores iguais, um a cada ano, com o primeiro saque um ano após o último depósito. O saldo remanescente a cada saque ficaria rendendo à mesma taxa até o quinto saque, quando o saldo se anularia.Nessa situação, considerando-se 0,68 e 2 como valores aproximados para (1,08)–⁵e (1,08)⁹ , respectivamente, cada saque anual teria o valor de
  1. AR$ 67.100.
  2. BR$ 75.000.
  3. CR$ 150.000.
  4. DR$ 10.500.
  5. ER$ 43.200.
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GabaritoB — R$ 75.000.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Cálculo de Saques com Juros Compostos

Gabarito: letra B. O valor de cada saque é de R$ 75.000,00, obtido igualando o valor acumulado dos depósitos (R$ 300.000,00) ao valor presente dos saques, considerando a taxa de 8% ao ano e os valores aproximados fornecidos para (1,08)9(1,08)^9 e (1,08)−5(1,08)^{-5}.

Primeiro, calcula-se o montante após os 9 depósitos anuais de R$ 24.000,00 à taxa de 8% a.a. Trata-se do valor futuro de uma anuidade ordinária:

FV=P⋅(1+i)n−1i=24.000⋅(1,08)9−10,08FV = P \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i} = 24.000 \cdot \frac{(1,08)^9 - 1}{0,08}

Dado que (1,08)9=2(1,08)^9 = 2, temos:

FV=24.000⋅2−10,08=24.000⋅10,08=24.000⋅12,5=300.000FV = 24.000 \cdot \frac{2 - 1}{0,08} = 24.000 \cdot \frac{1}{0,08} = 24.000 \cdot 12,5 = 300.000

Portanto, ao final do nono ano, o saldo é de R$ 300.000,00.

Esse saldo será utilizado para efetuar 5 saques anuais iguais de valor XX, com o primeiro saque ocorrendo um ano após o último depósito (ano 10). O valor presente dessa série de saques, na data do nono ano, é dado pela fórmula do valor presente de uma anuidade ordinária:

PV=X⋅1−(1+i)−5iPV = X \cdot \frac{1 - (1+i)^{-5}}{i}

Igualando ao saldo de R$ 300.000,00:

300.000=X⋅1−0,680,08=X⋅0,320,08=X⋅4300.000 = X \cdot \frac{1 - 0,68}{0,08} = X \cdot \frac{0,32}{0,08} = X \cdot 4

Logo:

X=300.0004=75.000X = \frac{300.000}{4} = 75.000

Assim, cada saque anual é de R$ 75.000,00, correspondente à alternativa B.

A banca forneceu valores aproximados que simplificam os cálculos: (1,08)9=2(1,08)^9 = 2 e (1,08)−5=0,68(1,08)^{-5} = 0,68. O raciocínio é direto: montante dos depósitos equivale ao valor presente dos saques.

Gabarito: letra B.

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