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Questão de Matemática Financeira — Conceitos fundamentais de Matemática Financeira — CESPE / CEBRASPE 2018

Matemática FinanceiraConceitos fundamentais de Matemática Financeira
Código
ce100613
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
SEFAZ-RS
Ano
2018
Nível
Superior
Cargo
CESPE - - Auditor do Estado - Bloco II
Um indivíduo investiu a quantia de C reais em uma aplicação financeira, no regime de juros compostos. No final do primeiro mês, o rendimento foi de x%, no final do segundo mês, foi de y% e, no final do terceiro mês, o rendimento foi de z%. Desconsiderando-se quaisquer descontos de impostos e taxas de administração, ao final do terceiro mês, o montante M auferido nessa aplicação pode ser expresso na forma M = C + wC.Nesse caso,
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GabaritoC — [imagem]

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Juros Compostos: Montante com Taxas Sucessivas

Gabarito: letra C. No regime de juros compostos, o montante MM após três períodos com rendimentos x%x\%, y%y\% e z%z\% é dado por M=C⋅(1+x100)⋅(1+y100)⋅(1+z100)M = C \cdot (1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{y}{100}) \cdot (1 + \frac{z}{100}). Como M=C+wCM = C + wC, temos w=(1+x100)(1+y100)(1+z100)−1w = (1 + \frac{x}{100})(1 + \frac{y}{100})(1 + \frac{z}{100}) - 1. Expandindo: [ w = \frac{x+y+z}{100} + \frac{xy + xz + yz}{10\,000} + \frac{xyz}{1\,000\,000}. ] A alternativa C é a única que representa corretamente essa soma de termos, incluindo as interações entre as taxas.

NÃO CAIA NESSA!

A banca frequentemente substitui a expansão completa por expressões mais simples – como a soma direta das taxas (juros simples) ou apenas o termo triplo. Lembre‑se de que, nos juros compostos, cada período agrega juros sobre juros, gerando termos de ordem superior.

Termos de 1ª ordemTermos de 2ª ordemTermo de 3ª ordem(x+y+z)/100(xy+xz+yz)/10000xyz/10000000000LEVELsoulevel.com.br
Juros Compostos - Taxas Sucessivas — só Termos de 1ª ordem: (x+y+z)/100; só Termos de 2ª ordem: (xy+xz+yz)/10000; só Termo de 3ª ordem: xyz/1000000; Termos de 1ª ordem∩Termos de 2ª ordem: 0; Termos de 1ª ordem∩Termo de 3ª ordem: 0; Termos de 2ª ordem∩Termo de 3ª ordem: 0; Termos de 1ª ordem∩Termos de 2ª ordem∩Termo de 3ª ordem: 0

Alternativa A — ❌ Incorreta

Assume que ww é apenas a soma das taxas: w=x+y+z100w = \frac{x+y+z}{100}. Essa seria a expressão para juros simples, ignorando a capitalização composta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta w=xyz1 000 000w = \frac{xyz}{1\,000\,000}, omitindo os termos de primeira e segunda ordem. O montante real é bem maior que CC multiplicado apenas pelo produto das taxas.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Exibe a expansão completa: w=x+y+z100+xy+xz+yz10 000+xyz1 000 000w = \frac{x+y+z}{100} + \frac{xy+xz+yz}{10\,000} + \frac{xyz}{1\,000\,000}, que equivale a (1+x100)(1+y100)(1+z100)−1(1+\frac{x}{100})(1+\frac{y}{100})(1+\frac{z}{100}) - 1.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Contém apenas os termos de primeira ordem e o termo unitário, mas não inclui os produtos duplos e o triplo. A expressão correta exige todas as interações.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Ou repete alguma das omissões anteriores ou mistura os termos de forma incorreta (ex.: divisão por denominadores errados). Sem o texto exato, fica claro que a única expressão completa é a da letra C.

PEGA ESSA DICA!

Para questões com taxas sucessivas em juros compostos, sempre escreva M=C⋅∏(1+ik)M = C \cdot \prod (1+i_k) e desenvolva mentalmente. A expressão de ww deve conter todos os termos da expansão binomial.

Gabarito: letra C

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