Questão de Matemática — Geometria Plana — CESPE / CEBRASPE 2019

Relógio com ponteiro dos minutos invertido

Gabarito: letra D. Entre duas sobreposições consecutivas, o ponteiro dos minutos percorre um arco $x$ e o das horas um arco $y$, e a relação correta é $x + y = 360^\circ$. Isso ocorre porque, no instante da sobreposição, os dois ponteiros apontam para a mesma direção; como o ponteiro dos minutos gira no sentido anti-horário e o das horas no sentido horário, eles se encontram quando a soma dos ângulos percorridos completa uma volta inteira (360°).

Vamos entender o fenômeno. Em um relógio normal, os dois ponteiros giram no mesmo sentido (horário), e a cada sobreposição o ponteiro dos minutos "alcança" o das horas, percorrendo uma volta a mais que ele. Aqui, porém, o ponteiro dos minutos inverteu o sentido: ele gira no sentido anti-horário, enquanto o das horas continua no sentido horário. Isso muda completamente a dinâmica do encontro.

Imagine o instante inicial: os dois ponteiros estão sobrepostos (por exemplo, à meia-noite). O ponteiro dos minutos começa a girar para trás (anti-horário) e o das horas para frente (horário). Para que eles se encontrem novamente, a soma dos arcos que cada um percorreu deve ser exatamente uma volta completa, ou seja, 360°. Se um percorreu $x$ e o outro $y$, então $x + y = 360^\circ$.

A pegadinha clássica aqui é pensar no caso normal (mesmo sentido), em que a diferença entre os arcos é que importa ($x - y = 360^\circ$). Mas como os sentidos são opostos, a condição de encontro é a soma, não a diferença. Vamos ver cada alternativa.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que $x - y = 90^\circ$. Isso não corresponde a nenhuma condição de sobreposição. No caso de sentidos opostos, a relação é de soma, não de diferença. Além disso, 90° não tem relação com o encontro dos ponteiros.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que $x - y = 180^\circ$. Novamente, usa a diferença, que é a relação do caso normal (mesmo sentido), mas com valor errado. No caso normal, a diferença seria 360°, não 180°. Aqui, com sentidos opostos, a relação correta é de soma.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que $x + y = 180^\circ$. A soma é a relação correta, mas o valor está errado: para que os ponteiros se encontrem, a soma dos arcos deve ser 360°, não 180°. 180° corresponderia a meia volta, o que não caracteriza sobreposição.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que $x + y = 360^\circ$. Exatamente a condição de encontro com sentidos opostos: a soma dos arcos percorridos pelos dois ponteiros completa uma volta inteira. É a única alternativa que reflete corretamente a geometria do problema.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que $x = y$. Isso só seria verdade se os dois ponteiros tivessem a mesma velocidade angular, o que não ocorre: o ponteiro dos minutos gira 12 vezes mais rápido que o das horas. Portanto, os arcos percorridos são diferentes.

Gabarito: letra D