Questão de Economia — Microeconomia — CESPE / CEBRASPE 2019

Maximização de Utilidade com Função Cobb-Douglas

Gabarito: letra C. O consumidor maximiza sua utilidade escolhendo a cesta que iguala a Taxa Marginal de Substituição (TMS) à razão de preços, respeitando a restrição orçamentária. Para a função $U = 4x^{1/4}y^{3/4}$, obtém-se $y = x$ como condição de ótimo; substituindo na restrição $5x + 15y = 300$, chega-se a $x = y = 15$.

A função de utilidade é do tipo Cobb-Douglas: $U = A \cdot x^a \cdot y^b$, com $a = 1/4$ e $b = 3/4$. A condição de equilíbrio do consumidor é:

Teoria do Consumidor (Cobb-Douglas):$[ \frac{\partial U/\partial x}{\partial U/\partial y} = \frac{p_x}{p_y} \quad \Rightarrow \quad \frac{a}{b} \cdot \frac{y}{x} = \frac{p_x}{p_y} ]$

Calculando:

• $\frac{a}{b} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$

• $\frac{p_x}{p_y} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$

• Assim, $\frac{1}{3} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{y}{x} = 1 \Rightarrow y = x$.

Substituindo na restrição orçamentária $5x + 15y = 300$ com $y = x$:

• $5x + 15x = 20x = 300 \Rightarrow x = 15$, $y = 15$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

(10, 20): Gasto = $5 \cdot 10 + 15 \cdot 20 = 50 + 300 = 350 > 300$, viola a restrição orçamentária.

Alternativa B — ❌ Incorreta

(10, 10): Gasto = $5 \cdot 10 + 15 \cdot 10 = 50 + 150 = 200 < 300$. A restrição é satisfeita, mas a condição de ótimo $y = x$ é atendida? Sim, $y = x$. Porém, com renda excedente, o consumidor poderia aumentar o consumo de ambos os bens, elevando a utilidade. Logo, não é a cesta maximizadora (a cesta ótima gasta toda a renda).

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

(15, 15): Gasto = $5 \cdot 15 + 15 \cdot 15 = 75 + 225 = 300$, exatamente a renda. Atende $y = x$, portanto é a cesta ótima.

Alternativa D — ❌ Incorreta

(20, 15): Gasto = $5 \cdot 20 + 15 \cdot 15 = 100 + 225 = 325 > 300$, viola a restrição orçamentária.

Alternativa E — ❌ Incorreta

(20, 20): Gasto = $5 \cdot 20 + 15 \cdot 20 = 100 + 300 = 400 > 300$, viola a restrição orçamentária.

Gabarito: letra C.