Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2020 | Questão sqc-ce113927

Simetria de uma distribuição discreta

❌ ERRADO. A distribuição da variável X, que assume apenas os valores -1 e +4, não é simétrica em torno da média amostral 3. Para que uma distribuição seja simétrica em torno de um ponto, as frequências (ou probabilidades) devem se espelhar igualmente em ambos os lados desse ponto. Aqui, os valores -1 e +4 estão a distâncias diferentes da média (4 e 1, respectivamente), e a simetria exigiria que as frequências se ajustassem de modo a equilibrar essas distâncias — o que não ocorre, como mostrado abaixo.

A simetria de uma distribuição é uma propriedade da forma da distribuição, não apenas da igualdade entre média e mediana. Para uma variável discreta com dois valores, a distribuição é simétrica em torno de um ponto central se as probabilidades dos valores equidistantes desse ponto forem iguais. No caso, os valores são -1 e +4, e a média amostral é 3. A distância de -1 até 3 é 4, e de +4 até 3 é 1 — distâncias diferentes. Para haver simetria em torno de 3, seria necessário que existisse um valor a 4 unidades à direita de 3 (ou seja, 7), o que não é possível, pois os únicos valores são -1 e +4. Portanto, a distribuição é assimétrica.

Podemos confirmar calculando as frequências relativas. Seja $p$ a frequência relativa do valor +4 e $1-p$ a do valor -1. A média amostral é:

3 = (-1)(1-p) + 4p = -1 + p + 4p = -1 + 5p

Resolvendo: $5p = 4 \Rightarrow p = 0{,}8$ . Assim, 80% das observações são +4 e 20% são -1. A distribuição tem um pico alto em +4 e uma cauda longa para -1 — claramente assimétrica à esquerda (negativamente assimétrica).

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta fazer o candidato acreditar que, por a média (3) ser um valor que não coincide com nenhum dos valores possíveis, a distribuição seria simétrica. Na verdade, a simetria exige que os valores equidistantes da média tenham a mesma frequência — o que não acontece, pois as distâncias são 4 e 1. A média 3 é apenas o ponto de equilíbrio, não o centro de simetria.

Caso	Atribuição (p = freq. de +4)	Resultado
Simetria exigiria freq. iguais	p = 0,5	Média = 1,5 ≠ 3 → Inviável
Média amostral = 3	p = 0,8	Média = 3 ✓, mas distâncias 4 e 1 → Assimétrica
Verificação de simetria	p = 0,8	f(-1) = 0,2 ≠ f(+4) = 0,8 → Contradição com simetria

Simetria em torno da média: Exige valores equidistantes (Mesma frequência nos dois lados); Caso: valores -1 e +4 (Média = 3, Distâncias: 4 e 1 (diferentes), Frequências: 20% e 80%); Conclusão (Assimétrica à esquerda)

Item — ❌ ERRADO

A afirmação de que a distribuição é simétrica em torno da média amostral 3 é falsa. Como demonstrado, as frequências relativas são $f_r(-1) = 0{,}2$ e $f_r(+4) = 0{,}8$ . Para que houvesse simetria em torno de 3, seria necessário que $f_r(-1) = f_r(+4)$ , o que implicaria média $\frac{-1+4}{2} = 1{,}5$ , e não 3. Além disso, a própria estrutura dos valores (apenas dois pontos, a distâncias diferentes da média) impede a simetria. A distribuição é assimétrica à esquerda, com cauda longa para valores menores.

Gabarito: letra E (ERRADO).

Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2020

Simetria de uma distribuição discreta

Item — ❌ ERRADO