Questão de Estatística — Estatística descritiva (análise exploratória de dados) — CESPE / CEBRASPE 2020

Desvio padrão amostral com valores possíveis -1 e +4

Gabarito: letra C (Certo). O desvio padrão amostral da variável X é igual ou superior a 2, pois, com valores possíveis apenas -1 e +4 e média amostral igual a 3, a variância amostral mínima ocorre quando todos os valores são iguais a 3, mas como isso é impossível (os valores só podem ser -1 ou +4), a variância é sempre positiva e, no caso extremo de todos os valores serem +4, a variância amostral é zero, porém isso contraria a média 3; na verdade, a configuração que minimiza a variância sujeita à média 3 é ter todos os valores iguais a 3, o que não é possível, então a variância é maior que zero, e o desvio padrão é maior que zero, mas precisamos verificar se é ≥ 2.

Vamos analisar matematicamente. Seja n o tamanho da amostra, com valores $x_i \in \{-1, +4\}$. A média amostral é $\bar{x} = 3$. A variância amostral é dada por $s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$. Como $\bar{x} = 3$, os desvios são: para $x_i = -1$, o desvio é $-1 - 3 = -4$; para $x_i = +4$, o desvio é $4 - 3 = 1$. Portanto, a soma dos quadrados dos desvios é $\sum (x_i - 3)^2 = 16 \cdot k + 1 \cdot (n-k)$, onde k é o número de valores -1. A média 3 implica que a soma dos valores é $3n$. Se há k valores -1 e (n-k) valores +4, então $-k + 4(n-k) = 3n \Rightarrow -k + 4n - 4k = 3n \Rightarrow 4n - 5k = 3n \Rightarrow n = 5k$. Assim, k = n/5, e n deve ser múltiplo de 5. A soma dos quadrados dos desvios é $16k + 1(n-k) = 16(n/5) + 1(4n/5) = 16n/5 + 4n/5 = 20n/5 = 4n$. Então a variância amostral é $s^2 = \frac{4n}{n-1}$. Para n ≥ 2, $s^2 = \frac{4n}{n-1} = 4 \cdot \frac{n}{n-1} > 4$, pois $\frac{n}{n-1} > 1$. Portanto, $s^2 > 4$, e o desvio padrão amostral $s = \sqrt{s^2} > 2$. Logo, o desvio padrão amostral é estritamente maior que 2, confirmando que é igual ou superior a 2.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. Como demonstrado, a média amostral 3 com valores apenas -1 e +4 força a proporção de 1 valor -1 para cada 4 valores +4 (n = 5k). A soma dos quadrados dos desvios em relação à média é sempre 4n, e a variância amostral é $s^2 = \frac{4n}{n-1}$, que é sempre maior que 4 para qualquer n finito. Portanto, o desvio padrão amostral é sempre maior que 2, satisfazendo a condição de ser igual ou superior a 2.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A afirmação de que o desvio padrão amostral é inferior a 2 está errada. Como provado, o desvio padrão amostral é sempre estritamente maior que 2, nunca inferior. A banca pode tentar confundir o candidato fazendo-o pensar que, como os valores são apenas -1 e +4, a dispersão poderia ser pequena, mas a restrição da média 3 obriga uma proporção específica que resulta em variância sempre acima de 4.

Gabarito: letra C