Questão de Raciocínio Lógico — Problemas Lógicos — CESPE / CEBRASPE 2021

Problema de Cumprimentos em Festa

Gabarito: Errado (E). A afirmação de que o número total de cumprimentos é proporcional ao número de pessoas presentes não é verdadeira, pois a contagem depende da estrutura das interações (rapazes cumprimentam rapazes com aperto de mão; moças cumprimentam todos com aceno), e não segue uma relação linear simples. A relação é uma combinação de pares, que depende da composição por gênero, e não apenas do total de pessoas.

A banca testa a capacidade de compreender que a contagem de cumprimentos não é uma função linear do total de pessoas, pois envolve contagens de pares que seguem regras de combinação diferentes conforme o grupo (rapazes entre si, moças com todos).

Análise da Assertiva

A assertiva afirma que "O número total de cumprimentos ocorridos na festa — acenos e apertos de mão — é proporcional ao número de pessoas presentes." Para verificar, precisamos entender a dinâmica:

• Rapazes: cada rapaz cumprimenta exatamente uma vez todos os outros rapazes com aperto de mão. Se houver $R$ rapazes, o número de apertos de mão entre eles é $C(R,2) = \frac{R(R-1)}{2}$, que é uma função quadrática de $R$.

• Moças: cada moça cumprimenta exatamente uma vez todos os outros presentes com um aceno. Isso inclui tanto as outras moças quanto todos os rapazes. Se houver $M$ moças, cada moça cumprimenta $(R + M - 1)$ pessoas (todos menos ela mesma). O total de acenos é $M \times (R + M - 1)$. No entanto, cada aceno é um evento único entre duas pessoas, e há dupla contagem se simplesmente multiplicarmos? Na verdade, o aceno é uma interação recíproca: quando a moça A acena para a moça B, ambas realizam o aceno, mas o cumprimento é um só. A descrição diz "cada moça cumprimentou exatamente uma vez a todos os outros presentes com um aceno". Isso significa que, para cada par envolvendo pelo menos uma moça, há dois acenos? Ou cada aceno é um cumprimento mútuo? Para evitar ambiguidade, devemos interpretar que cada moça executa um aceno para cada outro presente, e cada outro presente recebe esse aceno. Mas a contagem de "cumprimentos" (eventos de interação) provavelmente considera cada par de pessoas que se cumprimenta como um cumprimento. Nesse caso, os cumprimentos envolvendo moças devem ser contados como pares. Vamos detalhar:

• Entre moças: cada par de moças se cumprimenta com aceno. Quantos pares? $C(M,2) = \frac{M(M-1)}{2}$.

• Entre moça e rapaz: cada par formado por uma moça e um rapaz se cumprimenta com aceno. Quantos pares? $M \times R$.

Portanto, o total de acenos (como pares) é $\frac{M(M-1)}{2} + M\cdot R$.

Então o total de cumprimentos é: [ T = \underbrace{\frac{R(R-1)}{2}}{\text{apertos}} + \underbrace{\frac{M(M-1)}{2} + M\cdot R}{\text{acenos}} = \frac{R(R-1) + M(M-1) + 2MR}{2}. ]

Simplificando: [ T = \frac{R^2 - R + M^2 - M + 2MR}{2} = \frac{R^2 + M^2 + 2MR - (R+M)}{2} = \frac{(R+M)^2 - (R+M)}{2} = \frac{N^2 - N}{2}, ] onde $N = R+M$ é o total de pessoas. Isso é exatamente $C(N,2)$, o número total de pares de pessoas. Surpreendentemente, a fórmula final se reduz a combinação de todos os presentes, independentemente da separação por gênero. Mas isso só ocorre porque, no texto, as moças cumprimentam todos os outros com aceno, enquanto os rapazes só se cumprimentam entre si com aperto. No entanto, o aceno entre moças e rapazes substitui o aperto que não ocorre? Na verdade, o problema diz que cada rapaz cumprimenta todos os outros rapazes com aperto de mão. E cada moça cumprimenta todos os outros presentes (inclusive rapazes) com aceno. Então, entre um rapaz e uma moça, o cumprimento é aceno (feito pela moça); o rapaz, por sua vez, não cumprimenta a moça? A descrição não diz que rapazes cumprimentam moças. Então, entre rapaz e moça, apenas a moça executa o aceno, mas o rapaz não retribui? A questão pode ser ambígua. Se considerarmos que o cumprimento é bilateral (ambos se cumprimentam), então cada par heterogêneo conta um cumprimento, e a fórmula seria $C(N,2)$ mesmo. Mas a afirmação de proporcionalidade linear ainda seria falsa, pois $C(N,2)$ é quadrática, não linear.

Portanto, o total de cumprimentos é uma função quadrática do número de pessoas, não linear. Logo, não é proporcional.

❌ ERRADO.