Questão de Estatística — Estatística descritiva (análise exploratória de dados) — CESPE / CEBRASPE 2021
Estatística›Estatística descritiva (análise exploratória de dados)
Código
ce121237
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
PC-DF
Ano
2021
Nível
Superior
Cargo
Agente de Polícia da Carreira de Polícia Civil do Distrito Federal
Determinado pesquisador reuniu dados de vários municípios brasileiros e estimou um modelo de regressão linear múltipla por mínimos quadrados ordinários. A variável dependente foi a taxa de homicídios, e as variáveis independentes incluíam variáveis, como, por exemplo, PIB per capita, média de anos de estudo, índice de Gini e outras variáveis socioeconômicas. Após a estimação, o pesquisador calculou a correlação entre os resíduos e as variáveis independentes e notou que essas correlações foram iguais a zero.Com referência a essa situação hipotética, julgue o próximo item.A ausência de correlação entre as variáveis independentes e os resíduos da regressão mostra que as variáveis independentes são exógenas.
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Exogeneidade e correlação entre resíduos e regressores
❌ ERRADO. A ausência de correlação amostral entre as variáveis independentes e os resíduos de uma regressão estimada por mínimos quadrados ordinários é uma propriedade algébrica do método — ela vale sempre que o modelo inclui um intercepto, independentemente de as variáveis serem ou não exógenas. Portanto, essa correlação nula não é evidência de exogeneidade; a exogeneidade é uma hipótese sobre a relação entre os regressores e o termo de erro populacional, que não pode ser verificada apenas olhando para os resíduos da amostra.
Para entender por que a afirmação está errada, é preciso distinguir dois conceitos que a banca mistura de propósito:
Exogeneidade (estrita ou contemporânea): é uma propriedade do modelo populacional. Diz que o termo de erro tem média condicional zero dado o regressor, ou seja, . Isso significa que o regressor não carrega informação sobre o erro — não há variável omitida correlacionada com X que afete Y. É uma hipótese teórica, que depende da correta especificação do modelo.
Correlação amostral entre resíduos e regressores: é uma consequência mecânica do método de mínimos quadrados. Quando o modelo tem intercepto, as equações normais garantem que e que para cada regressor . Ou seja, a correlação amostral entre cada coluna de X e o vetor de resíduos é sempre zero, por construção — mesmo que o modelo esteja mal especificado, com endogeneidade, ou com variáveis omitidas.
A pegadinha está exatamente aí: o pesquisador calculou a correlação entre os resíduos e as variáveis independentes e encontrou zero. Isso não mostra que as variáveis são exógenas; apenas reflete a propriedade algébrica do MQO. Se o modelo tivesse um problema de endogeneidade (por exemplo, uma variável omitida correlacionada com PIB per capita e com a taxa de homicídios), a correlação entre os resíduos e o PIB per capita ainda seria zero — porque o MQO força essa condição. A exogeneidade só poderia ser avaliada por argumentos teóricos, por testes de especificação (como o teste de Hausman) ou por conhecimento do processo gerador dos dados.
Conceito
Definição
Correlação amostral resíduos × regressores
Implicação para exogeneidade
Exogeneidade (modelo populacional)
(E[\varepsilon \mid X] = 0) — regressores não carregam informação sobre o erro
Pode ser zero ou não, dependendo da especificação
É uma hipótese teórica, não verificável apenas pelos resíduos
Propriedade algébrica do MQO
Equações normais: e
Sempre zero por construção, mesmo com endogeneidade
Não prova nem refuta exogeneidade
Modelo com endogeneidade (ex.: variável omitida)
Erro correlacionado com regressor no modelo populacional
Ainda zero nos resíduos amostrais (MQO força isso)
Exogeneidade continua falsa, mas correlação amostral é nula
Conclusão da questão
Ausência de correlação amostral ≠ exogeneidade
Zero é mecânico, não informativo
Afirmação errada (gabarito E)
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a confusão entre uma propriedade algébrica do estimador (correlação amostral nula entre resíduos e regressores) e uma hipótese econômica/estatística (exogeneidade). O candidato que lembra que "no MQO os resíduos são ortogonais aos regressores" pode achar que isso prova exogeneidade — mas é exatamente o contrário: essa ortogonalidade vale sempre, mesmo quando há endogeneidade. A exogeneidade é uma hipótese sobre o modelo populacional, não uma consequência do método de estimação. Fique atento: se a questão afirma que a correlação nula "mostra" ou "prova" exogeneidade, está errada.