Questão de Matemática — Progressões — CESPE / CEBRASPE 2021

Progressão Aritmética: soma dos termos e prêmio da loteria

Gabarito: Errado (E). O prêmio recebido na décima aposta é de R$ 200,00, enquanto o total apostado nas dez apostas é de R$ 110,00; a diferença é de apenas R$ 90,00, que não supera R$ 100,00. A resolução usa a fórmula do termo geral e da soma dos termos de uma progressão aritmética (PA).

A questão descreve uma sequência de valores apostados que formam uma progressão aritmética: o primeiro termo é R$ 2,00 (aposta mínima) e a razão é R$ 2,00 (aumento constante a cada aposta). O prêmio pago ao acertador é sempre 10 vezes o valor da aposta daquela rodada. Para julgar a afirmação, precisamos calcular duas coisas: o valor da décima aposta (que determina o prêmio) e o total gasto nas dez apostas (a soma dos termos).

1. Valor da décima aposta (termo geral da PA):

A fórmula do termo geral de uma PA é $a_n = a_1 + (n-1) \cdot r$, onde $a_1$ é o primeiro termo, $r$ é a razão e $n$ é a posição do termo. Substituindo $a_1 = 2$, $r = 2$ e $n = 10$:

$a_{10} = 2 + (10-1) \cdot 2 = 2 + 9 \cdot 2 = 2 + 18 = 20$

Portanto, a décima aposta foi de R$ 20,00. O prêmio é 10 vezes esse valor: $10 \times 20 = 200$ reais.

2. Total apostado nas dez apostas (soma dos termos da PA):

A soma dos $n$ primeiros termos de uma PA é dada por $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$. Com $a_1 = 2$, $a_{10} = 20$ e $n = 10$:

$S_{10} = \frac{(2 + 20) \cdot 10}{2} = \frac{22 \cdot 10}{2} = \frac{220}{2} = 110$

O total apostado nas dez rodadas foi de R$ 110,00.

3. Comparação entre prêmio e total apostado:

O prêmio (R$ 200,00) menos o total apostado (R$ 110,00) resulta em R$ 90,00. Como R$ 90,00 é menor que R$ 100,00, a afirmação de que o prêmio supera o total apostado em mais de R$ 100,00 é falsa.

Gabarito: Errado (E).