Considere duas variáveis aleatórias contínuas, X e Y, tais que
P(X > 0) = 1, P(X ≤ 1) = 1/10, P(X ≤ 1| Y> 1) = 3/10, Var(X) = Var(Y) = 1, e Cov(X, Y) = 0.
GabaritoE — Errado
Gabarito: letra E (ERRADO). As informações fornecidas não permitem concluir que E[X] = 0; pelo contrário, elas indicam que E[X] > 0. Como P(X > 0) = 1, a variável X assume apenas valores positivos, o que força sua média a ser positiva. Além disso, P(X ≤ 1) = 1/10 mostra que a maior parte da massa de probabilidade está acima de 1, reforçando que a média não pode ser zero.
A questão cobra o conceito de valor esperado de uma variável aleatória contínua. Para uma variável contínua X com função densidade de probabilidade f(x), o valor esperado é definido como:
Essa integral é uma média ponderada de todos os valores possíveis de X, em que o peso de cada valor é a densidade naquele ponto. O valor esperado é uma medida de tendência central: ele indica o "centro de massa" da distribuição.
A pegadinha da questão está em tentar usar as informações sobre covariância e variância para concluir algo sobre a média. A condição Cov(X, Y) = 0 indica que X e Y são não correlacionadas, mas isso não implica que E[X] = 0. A covariância mede a relação linear entre duas variáveis, não o valor esperado de uma delas. Da mesma forma, Var(X) = 1 apenas informa a dispersão de X em torno de sua média, não o valor da média em si.
O que realmente decide a questão são as probabilidades dadas:
P(X > 0) = 1: X assume apenas valores positivos (com probabilidade 1).
P(X ≤ 1) = 1/10: apenas 10% da massa de probabilidade está no intervalo (0, 1]; os outros 90% estão acima de 1.
Como X é sempre positivo, sua média E[X] é necessariamente positiva. Além disso, como a maior parte da massa está acima de 1, a média deve ser maior que 1 (na verdade, maior que 0,9, mas o ponto é que é positiva). Portanto, E[X] ≠ 0.
A informação P(X ≤ 1 | Y > 1) = 3/10 é uma probabilidade condicional que envolve Y, mas não altera a conclusão sobre E[X]. Ela apenas mostra que a distribuição de X condicionada a Y > 1 tem mais massa abaixo de 1 do que a distribuição incondicional, mas isso não muda o fato de que X é sempre positivo.
Caso | Atribuição de X | Resultado para E[X] |
|---|---|---|
Caso 1: P(X > 0) = 1 | X assume apenas valores positivos | E[X] > 0 |
Caso 2: P(X ≤ 1) = 1/10 | 10% da massa em (0, 1]; 90% acima de 1 | E[X] > 0,9 (positivo) |
Caso 3: Cov(X, Y) = 0 e Var(X) = 1 | Não informam a média de X | E[X] não é determinado por essas condições |
Caso 4: P(X ≤ 1 | Y > 1) = 3/10 | Condicional com Y; não altera o suporte de X | E[X] permanece positivo |
Afirma que E[X] = 0. Isso é falso, pois P(X > 0) = 1 garante que X é sempre positiva, logo sua média é positiva. Além disso, P(X ≤ 1) = 1/10 indica que a maior parte da massa está acima de 1, o que torna a média ainda maior. A alternativa tenta induzir o candidato a pensar que, como Cov(X, Y) = 0, as variáveis são independentes e talvez E[X] = 0, mas isso não decorre das informações.
O item está errado, pois E[X] > 0. A justificativa é direta: se P(X > 0) = 1, então X assume apenas valores positivos, e o valor esperado de uma variável que é sempre positiva é positivo. Não há como E[X] = 0. As demais informações (variâncias, covariância e probabilidade condicional) são irrelevantes para esse cálculo.
A banca tenta confundir o candidato com a informação Cov(X, Y) = 0. Muitos associam covariância zero a independência e, de alguma forma, a E[X] = 0, mas isso é um erro conceitual. A covariância mede relação linear, não o valor esperado. A chave está em P(X > 0) = 1: se X é sempre positiva, sua média é positiva. Fique atento: quando a variável tem suporte restrito a valores positivos, a média não pode ser negativa nem zero.
Para questões de valor esperado, sempre verifique o suporte da variável. Se P(X > a) = 1, então E[X] > a (se a ≥ 0). Use essa regra rápida para eliminar alternativas que afirmam médias negativas ou zero quando a variável é sempre positiva.
Gabarito: letra E
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