Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2021 | Questão sqc-ce122819

MatemáticaAritmética e Problemas

Código: ce122819
Banca: CESPE / CEBRASPE
Órgão: PRF
Ano: 2021
Nível: Superior

Cargo: Policial Rodoviário Federal

Foi modelado que o espalhamento de uma notícia em uma população — entendido como o percentual de indivíduos dessa população que recebe essa notícia por unidade de tempo — é diretamente proporcional ao percentual de indivíduos da população que já conhecem a notícia multiplicado pelo percentual de indivíduos dessa população que ainda não a conhecem até aquele instante. A constante k de proporcionalidade depende, entre outros fatores, do impacto da notícia na vida dos envolvidos e de propriedades dos meios de comunicação disponíveis.

Tendo como base essas informações e considerando que, para certa notícia, k = 1, julgue o item seguinte.De acordo com a modelagem realizada, é possível que, em determinado instante, o espalhamento da notícia seja superior a 50% por unidade de tempo.

CCerto
EErrado

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GabaritoE — Errado

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Espalhamento de notícia: modelagem logística

Gabarito: letra E (ERRADO). O espalhamento é modelado por $E = k \cdot p \cdot (1-p)$ , onde $p$ é o percentual de indivíduos que já conhecem a notícia. Com $k=1$ , o valor máximo de $E$ ocorre quando $p = 0{,}5$ , resultando em $E = 0{,}25 = 25\%$ , que é inferior a 50%. Portanto, é impossível que o espalhamento seja superior a 50% por unidade de tempo.

A modelagem descrita é um clássico modelo logístico de difusão de informação. A taxa de espalhamento é proporcional ao produto da proporção de quem já sabe ( $p$ ) pela proporção de quem ainda não sabe ( $1-p$ ). Isso faz sentido intuitivamente: se quase ninguém sabe, há poucos "transmissores"; se quase todos sabem, há poucos "receptores" disponíveis. O espalhamento máximo ocorre no equilíbrio entre esses dois fatores.

Matematicamente, com $k=1$ , temos a função $E(p) = p(1-p) = p - p^2$ , que é uma parábola com concavidade para baixo. O vértice dessa parábola, que representa o valor máximo, ocorre em $p = \frac{1}{2}$ . Substituindo:

E_{máx} = \frac{1}{2} \cdot \left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0{,}25 = 25\%

Portanto, o espalhamento máximo possível é de 25% por unidade de tempo, nunca superior a 50%. A afirmação do item é matematicamente impossível dentro do modelo dado.

p	1-p	E = p·(1-p)	E > 0,50?
0,0	1,0	0,00	F
0,25	0,75	0,1875	F
0,50	0,50	0,25	F
0,75	0,25	0,1875	F
1,0	0,0	0,00	F

Alternativa E — ❌ Errado ⟵ GABARITO

A afirmação de que o espalhamento pode ser superior a 50% é falsa. Como demonstrado, o valor máximo da função $E(p) = p(1-p)$ é 25%, atingido quando exatamente metade da população conhece a notícia. O candidato que marcou "Certo" provavelmente raciocinou que, como $p$ e $(1-p)$ são percentuais, o produto poderia ser grande — mas esqueceu que a soma deles é sempre 100%, o que limita o produto a no máximo 25%.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a intuição de que "percentual vezes percentual pode dar um número grande". Mas aqui os dois percentuais são complementares (somam 100%), e o produto de dois números de soma fixa é máximo quando eles são iguais — ou seja, 50% × 50% = 25%. O espalhamento nunca chega nem perto de 50%.

PEGA ESSA DICA!

Em questões de modelagem com produto de complementares ( $p$ e $1-p$ ), o valor máximo é sempre $\frac{1}{4}$ do coeficiente. Aqui, com $k=1$ , o máximo é 25%. Se $k$ fosse 2, o máximo seria 50%; se fosse 3, 75%. Grave essa relação: $E_{máx} = \frac{k}{4}$ .

Gabarito: letra E (ERRADO).

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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — CESPE / CEBRASPE 2021

Espalhamento de notícia: modelagem logística

Alternativa E — ❌ Errado ⟵ GABARITO