Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2021 | Questão sqc-ce122820

MatemáticaRaciocínio Lógico

Código: ce122820
Banca: CESPE / CEBRASPE
Órgão: PRF
Ano: 2021
Nível: Superior

Cargo: Policial Rodoviário Federal

Foi modelado que o espalhamento de uma notícia em uma população — entendido como o percentual de indivíduos dessa população que recebe essa notícia por unidade de tempo — é diretamente proporcional ao percentual de indivíduos da população que já conhecem a notícia multiplicado pelo percentual de indivíduos dessa população que ainda não a conhecem até aquele instante. A constante k de proporcionalidade depende, entre outros fatores, do impacto da notícia na vida dos envolvidos e de propriedades dos meios de comunicação disponíveis.

Tendo como base essas informações e considerando que, para certa notícia, k = 1, julgue o item seguinte.Se, em determinado instante, o espalhamento de uma notícia é igual a 16% por unidade de tempo, então, nesse instante, mais de 75% da população ainda desconhece a notícia.

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Modelo de espalhamento de notícia (equação logística)

Gabarito: ERRADO. Com $k = 1$ , o espalhamento é dado por $E = p(1-p)$ , em que $p$ é a fração da população que já conhece a notícia. Se $E = 0{,}16$ , então $p(1-p) = 0{,}16$ , o que leva a $p = 0{,}2$ ou $p = 0{,}8$ . A fração que desconhece é $1-p$ : se $p = 0{,}2$ , então $1-p = 0{,}8 = 80\%$ (mais de 75%); mas se $p = 0{,}8$ , então $1-p = 0{,}2 = 20\%$ (menos de 75%). Como a afirmação exige que mais de 75% desconheça em todo caso, ela falha quando $p = 0{,}8$ . Portanto, o item é ERRADO.

O texto-base descreve um modelo clássico de difusão de informação, matematicamente idêntico à equação logística (usada também em epidemiologia para o crescimento de uma epidemia). Seja $p$ a proporção da população que já conhece a notícia (entre 0 e 1). O espalhamento $E$ (percentual de novos conhecedores por unidade de tempo) é diretamente proporcional ao produto da proporção dos que conhecem ( $p$ ) pela proporção dos que ainda não conhecem ( $1-p$ ). Com constante $k = 1$ , temos:

E = p \cdot (1-p)

O enunciado informa que $E = 0{,}16$ (16%). Precisamos descobrir qual fração da população desconhece a notícia nesse instante. Substituindo:

0{,}16 = p(1-p)

p^2 - p + 0{,}16 = 0

Resolvendo a equação do 2º grau (fórmula de Bhaskara):

p = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 0{,}16}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{0{,}36}}{2} = \frac{1 \pm 0{,}6}{2}

Portanto, $p = 0{,}8$ ou $p = 0{,}2$ .

A fração que desconhece é $1-p$ :

Se $p = 0{,}2$ → $1-p = 0{,}8 = 80\%$ (mais de 75% desconhecem);
Se $p = 0{,}8$ → $1-p = 0{,}2 = 20\%$ (menos de 75% desconhecem).

Como existem dois instantes possíveis com o mesmo espalhamento de 16% — um com 80% desconhecendo e outro com apenas 20% desconhecendo — a afirmação de que "mais de 75% da população ainda desconhece" não é garantida. Ela só vale para um dos casos. Logo, o item está ERRADO.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a simetria da equação $p(1-p)$ : o mesmo valor de espalhamento (16%) ocorre tanto quando 20% conhecem (80% desconhecem) quanto quando 80% conhecem (20% desconhecem). O candidato apressado resolve apenas um dos casos (geralmente $p=0{,}2$ ) e conclui que mais de 75% desconhecem — esquecendo que a equação do 2º grau tem duas raízes. Sempre que aparecer um produto do tipo $p(1-p)$ , lembre-se: há dois pontos simétricos em torno de 50%.

Caso	p (fração que conhece)	1−p (fração que desconhece)	E = p(1−p)	Afirmação "mais de 75% desconhece"
1	0,2	0,8 (80%)	0,16	Verdadeira
2	0,8	0,2 (20%)	0,16	Falsa

Espalhamento E = p(1-p)

1E = 0,16
- p = 0,2 → 80% desconhecem
- p = 0,8 → 20% desconhecem
2Conclusão
- Afirmação exige mais de 75%
- Falha quando p = 0,8

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Item — ❌ ERRADO ⟵ GABARITO

A afirmação é falsa porque, como demonstrado, o espalhamento de 16% pode ocorrer com apenas 20% da população desconhecendo a notícia (quando $p = 0{,}8$ ). Nesse caso, 80% já conhecem, e a premissa "mais de 75% desconhece" não se sustenta. A existência de um único contraexemplo (o caso $p=0{,}8$ ) já invalida a universalidade da afirmação. Portanto, o item é ERRADO.

Gabarito: ERRADO (letra E).

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Questão de Matemática — Raciocínio Lógico — CESPE / CEBRASPE 2021

Modelo de espalhamento de notícia (equação logística)

Item — ❌ ERRADO ⟵ GABARITO