Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Estatística — CESPE / CEBRASPE 2021

MatemáticaEstatística
Código
ce123050
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
Polícia Federal
Ano
2021
Nível
Superior
Cargo
Agente de
3,5 5,3 3,8 3,1 3,5Considerando que o conjunto de dados apresentado represente uma realização de uma amostra aleatória simples de tamanho n = 5 retirada de uma população X, cuja função de probabilidade acumulada é escrita comoP(X ≤ x) = 1 - (β/x)², se x ≥ β; e P (X ≤ x) = 0, se x < β,em que β é o parâmetro desconhecido, julgue o item que se segue.A estimativa de máxima verossimilhança para o parâmetro β é igual ou superior a 3,5.
  1. CCerto
  2. EErrado
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Estimativa de Máxima Verossimilhança para o parâmetro β

Gabarito: letra E (ERRADO). A estimativa de máxima verossimilhança para o parâmetro β é o mínimo valor amostral, que neste caso é 3,1 — portanto, inferior a 3,5. A função de verossimilhança é estritamente decrescente em β, e a restrição de que todos os dados sejam maiores ou iguais a β faz com que o máximo seja atingido no menor valor observado.

A questão apresenta uma distribuição com função de distribuição acumulada P(X≤x)=1−(β/x)2P(X \leq x) = 1 - (\beta/x)^2 para x≥βx \geq \beta. Para encontrar o estimador de máxima verossimilhança (EMV), o primeiro passo é obter a função densidade de probabilidade, derivando a acumulada:

f(x)=ddx[1−(βx)2]=2β2x3,x≥βf(x) = \frac{d}{dx} \left[1 - \left(\frac{\beta}{x}\right)^2\right] = \frac{2\beta^2}{x^3}, \quad x \geq \beta

A função de verossimilhança para uma amostra de tamanho nn é o produto das densidades:

L(β)=∏i=1n2β2xi3=2nβ2n(∏i=1nxi)−3⋅I(β≤min⁡(xi))L(\beta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{2\beta^2}{x_i^3} = 2^n \beta^{2n} \left(\prod_{i=1}^{n} x_i\right)^{-3} \cdot \mathbb{I}_{(\beta \leq \min(x_i))}

O termo I(β≤min⁡(xi))\mathbb{I}_{(\beta \leq \min(x_i))} é a função indicadora: ela vale 1 apenas se β≤min⁡(xi)\beta \leq \min(x_i), e 0 caso contrário. Isso significa que a verossimilhança só é diferente de zero quando β\beta é menor ou igual a todos os valores amostrais.

Para β\beta dentro desse intervalo, a função L(β)=2nβ2n(∏xi)−3L(\beta) = 2^n \beta^{2n} (\prod x_i)^{-3} é estritamente crescente em β\beta (pois o expoente 2n>02n > 0). Portanto, para maximizá-la, devemos escolher o maior valor possível de β\beta que ainda satisfaça a restrição β≤min⁡(xi)\beta \leq \min(x_i). Esse valor é exatamente o mínimo da amostra:

β^MV=min⁡(x1,x2,…,xn)\hat{\beta}_{MV} = \min(x_1, x_2, \dots, x_n)

No conjunto de dados fornecido — 3,5; 5,3; 3,8; 3,1; 3,5 — o menor valor é 3,1. Logo, a estimativa de máxima verossimilhança é β^MV=3,1\hat{\beta}_{MV} = 3{,}1, que é inferior a 3,5.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta fazer o candidato confundir o EMV com a média amostral (que seria xˉ=3,84\bar{x} = 3{,}84, superior a 3,5) ou com o máximo da amostra. Mas a estrutura da distribuição — com suporte começando em β\beta — inverte a lógica: quanto maior o β\beta, menor a verossimilhança, e a restrição de que todos os dados sejam ≥β\geq \beta força o estimador a ser o mínimo amostral. Esse é o mesmo raciocínio da distribuição uniforme U(0,θ)U(0, \theta), onde o EMV é o máximo; aqui, com o parâmetro no limite inferior, o EMV é o mínimo.

Valores AmostraisEMV3,5; 5,3; 3,8; 3,53,1LEVELsoulevel.com.br
Estimativa de Máxima Verossimilhança — só Valores Amostrais: 3,5; 5,3; 3,8; 3,5; só EMV: 3,1; Valores Amostrais∩EMV:

Item — ❌ ERRADO ⟵ GABARITO

A afirmativa diz que a estimativa de máxima verossimilhança para β\beta é igual ou superior a 3,5. Como demonstrado, o EMV é o mínimo da amostra, β^MV=3,1\hat{\beta}_{MV} = 3{,}1, que é menor que 3,5. Portanto, a afirmação está errada.

Gabarito: letra E (ERRADO).

Link permanente: /questoes/ce123050