Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2021 | Questão sqc-ce123174

Estimação por mínimos quadrados ordinários: média populacional

Gabarito: letra C (CERTO). Pelo método dos mínimos quadrados ordinários, a estimativa da média populacional é a média amostral, que, para os dados 3,5; 5,3; 3,8; 3,1; 3,5, é igual a 3,84 — valor superior a 3,5. A média amostral é o estimador que minimiza a soma dos quadrados dos desvios em relação a um ponto, e é exatamente isso que o método dos mínimos quadrados faz quando aplicado à estimação de uma média.

O método dos mínimos quadrados ordinários (MQO) é um critério de estimação que consiste em escolher o valor do parâmetro que minimize a soma dos quadrados dos desvios entre os valores observados e o valor estimado. Quando o objetivo é estimar a média populacional $\mu$ , o estimador de MQO é o valor $\hat{\mu}$ que minimiza a função:

S(\mu) = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2

Derivando em relação a $\mu$ e igualando a zero, obtém-se:

\frac{dS}{d\mu} = -2\sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu) = 0 \Rightarrow \sum_{i=1}^{n} x_i = n\mu \Rightarrow \hat{\mu} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \bar{x}

Ou seja, o estimador de mínimos quadrados para a média populacional é a média amostral. Essa é uma propriedade geral, independente da distribuição da população — não depende da função de distribuição acumulada fornecida no enunciado. A distribuição de Pareto (que é o caso aqui, com $P(X \leq x) = 1 - (\beta/x)^2$ ) serve apenas para contextualizar o parâmetro $\beta$ , mas não altera o fato de que a média populacional é estimada pela média amostral sob o critério de mínimos quadrados.

Calculando a média amostral para os dados fornecidos:

\bar{x} = \frac{3,5 + 5,3 + 3,8 + 3,1 + 3,5}{5} = \frac{19,2}{5} = 3,84

Como 3,84 ≥ 3,5, o item está correto.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta confundir o candidato ao apresentar uma distribuição com parâmetro $\beta$ desconhecido, fazendo-o pensar que seria necessário estimar $\beta$ primeiro (por máxima verossimilhança, por exemplo) para depois estimar a média. Mas o método dos mínimos quadrados para a média não depende da distribuição: a estimativa é sempre a média amostral. O valor 3,84 é maior que 3,5, então o item é certo. Fique atento: quando a questão pede "estimativa da média populacional pelo método dos mínimos quadrados", a resposta é a média amostral, sem precisar de mais nada.

Caso	Atribuição	Resultado
MQO para média	$(\hat{\mu} = \bar{x} = \frac{3,5+5,3+3,8+3,1+3,5}{5})$	$(\hat{\mu} = 3,84)$
Comparação com 3,5	$(3,84 \geq 3,5)$	Verdadeiro (Certo)

Item — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A estimativa de mínimos quadrados ordinários para a média populacional é a média amostral, que calculamos como 3,84. Como 3,84 ≥ 3,5, a afirmação é verdadeira. O fato de a população seguir uma distribuição com parâmetro $\beta$ desconhecido não interfere nesse resultado, pois o critério de mínimos quadrados para a média é universal.

Gabarito: letra C (CERTO).

Questão de Matemática — Estatística — CESPE / CEBRASPE 2021

Estimação por mínimos quadrados ordinários: média populacional

Item — ✅ CERTO ⟵ GABARITO