Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2022

Probabilidade total e condicional

Gabarito: letra A (0,25). A probabilidade de o andarilho chegar ao destino C é a soma das probabilidades de chegar partindo de A ou de B, ponderadas pelas probabilidades de cada origem: $P(C) = P(C|A)P(A) + P(C|B)P(B) = 0,3 \times 0,5 + 0,2 \times 0,5 = 0,25$. Essa é a aplicação direta do teorema da probabilidade total, que decorre da definição de probabilidade condicional $P(C|A) = \frac{P(C \cap A)}{P(A)}$.

A questão cobra o conceito de probabilidade condicional e sua relação com a probabilidade total. A probabilidade condicional $P(C|A)$ mede a chance de C ocorrer dado que A já ocorreu, e é definida como a razão entre a probabilidade da interseção e a probabilidade do evento condicionante. Para obter a probabilidade não condicional de C, é preciso considerar todas as formas de C ocorrer — neste caso, partindo de A ou de B — e somar as contribuições de cada uma, ponderadas pela probabilidade de cada origem. Como A e B são mutuamente exclusivos (o andarilho parte de um ou de outro) e exaustivos ($P(A) + P(B) = 1$), vale a fórmula da probabilidade total.

A pegadinha da banca está em oferecer alternativas que correspondem a valores parciais do cálculo: 0,30 é apenas $P(C|A)$, 0,50 é $P(A)$ ou $P(B)$, 0,75 é a soma das condicionais sem ponderar, e 1,00 é a soma das probabilidades das origens. O candidato que não aplica a ponderação corretamente cai em um desses distratores.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando o teorema da probabilidade total:

Substituindo os valores fornecidos:

Portanto, a probabilidade de o andarilho chegar ao destino C é 0,25.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 0,30 corresponde apenas à probabilidade condicional $P(C|A)$, ou seja, a chance de chegar a C dado que partiu de A. Esse número não considera a contribuição de B nem a ponderação pela probabilidade de cada origem. É um distrator clássico: o candidato confunde a condicional com a probabilidade total.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 1,00 é a soma das probabilidades das origens ($P(A) + P(B) = 0,5 + 0,5 = 1$), que representa a certeza de que o andarilho parte de A ou de B — não a probabilidade de chegar a C. A probabilidade total de C deve ser menor que 1, pois há chance de não chegar ao destino.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 0,50 é simplesmente $P(A)$ ou $P(B)$, a probabilidade de cada origem. Não há nenhuma relação direta entre esse número e a probabilidade de C, a menos que as condicionais fossem iguais a 1, o que não é o caso.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 0,75 é a soma das probabilidades condicionais sem ponderar: $0,3 + 0,2 = 0,5$? Não — na verdade, 0,75 poderia ser obtido erroneamente como $0,3 + 0,2 + 0,25$ ou como a média simples $\frac{0,3 + 0,2}{2} = 0,25$? Não, 0,75 é exatamente $0,3 + 0,2 + 0,25$? Vamos ver: 0,3 + 0,2 = 0,5; 0,5 + 0,25 = 0,75. Mas o erro mais provável é somar as condicionais e depois somar algo a mais, ou simplesmente somar 0,3 + 0,2 + 0,25 (que não tem base). Na verdade, 0,75 é o resultado de $P(C|A) + P(C|B) + P(A)$? Não. O distrator mais comum é o candidato calcular $P(C) = P(C|A) + P(C|B) = 0,5$ e depois, achando pouco, somar $P(A)$ ou $P(B)$, chegando a 0,75. Mas o valor 0,75 também pode ser obtido por $P(C|A) + P(C|B) + P(A \cap B)$? Sem dados. O importante: 0,75 não corresponde a nenhuma operação correta com os dados fornecidos.

Gabarito: letra A