Questão de Estatística — Amostragem — CESPE / CEBRASPE 2022

Alocação ótima de Neyman em amostragem estratificada

Gabarito: letra C. Pela alocação ótima de Neyman, com custo constante, o tamanho da amostra em cada estrato é proporcional ao produto do tamanho do estrato pelo seu desvio-padrão: $n_i = n \times \frac{N_i \sigma_i}{\sum N_j \sigma_j}$. Para o estrato 2, temos $N_2 \sigma_2 = 300 \times 5 = 1500$ e a soma $\sum N_j \sigma_j = 500 \times 1 + 300 \times 5 + 200 \times 5 = 3000$. Logo, $n_2 = 10 \times \frac{1500}{3000} = 5$.

A amostragem estratificada divide a população em subpopulações (estratos) homogêneas entre si, e de cada estrato é retirada uma amostra. A alocação ótima de Neyman busca minimizar a variância do estimador para um custo fixo, ou minimizar o custo para uma variância fixa. Quando o custo de amostragem é o mesmo em todos os estratos, a fórmula se simplifica: o tamanho da amostra em cada estrato é proporcional ao tamanho do estrato multiplicado pelo desvio-padrão da variável de interesse naquele estrato. Isso significa que estratos maiores e mais heterogêneos (maior desvio-padrão) recebem uma fração maior da amostra, pois contribuem mais para a variância total do estimador.

A pegadinha da banca está em confundir a alocação ótima de Neyman com a alocação proporcional simples. Na alocação proporcional, o tamanho da amostra em cada estrato é proporcional apenas ao tamanho do estrato: $n_i = n \times \frac{N_i}{N}$. Se aplicássemos essa fórmula, obteríamos $n_2 = 10 \times \frac{300}{1000} = 3$, que é a alternativa A. No entanto, a questão pede explicitamente a alocação ótima de Neyman, que leva em conta também o desvio-padrão. É por isso que o estrato 2, apesar de não ser o maior, recebe uma amostra maior que a proporcional, pois tem desvio-padrão alto (5) comparado ao estrato 1 (1).

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 3 corresponde à alocação proporcional simples, que ignora os desvios-padrão: $n_2 = 10 \times \frac{300}{1000} = 3$. A questão pede a alocação ótima de Neyman, que pondera também pelo desvio-padrão de cada estrato.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 4 não corresponde a nenhuma alocação direta. Se o aluno calcular a alocação proporcional e tentar ajustar mentalmente sem fazer a conta exata, pode chegar a um valor intermediário, mas o cálculo correto pela fórmula de Neyman resulta em 5.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando a fórmula da alocação ótima de Neyman com custo constante: $n_2 = n \times \frac{N_2 \sigma_2}{\sum N_j \sigma_j} = 10 \times \frac{300 \times 5}{500 \times 1 + 300 \times 5 + 200 \times 5} = 10 \times \frac{1500}{3000} = 5$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 6 não corresponde a nenhum cálculo direto. Pode ser resultado de um erro ao calcular a soma dos produtos $N_j \sigma_j$ ou ao aplicar a proporção.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 7 também não corresponde a nenhum cálculo direto. Pode ser resultado de um erro ao calcular a soma dos produtos $N_j \sigma_j$ ou ao aplicar a proporção.

Gabarito: letra C