Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2022 | Questão sqc-ce140197

Mediana amostral em variável dicotômica

Gabarito: letra E. Se a variável X assume apenas os valores -1 e 1, e a média amostral é 0,5, então a proporção de respostas "satisfeito" (X = 1) é de 75%, o que torna a mediana amostral igual a 1. A mediana é o valor central da amostra ordenada; com mais da metade das observações iguais a 1, o valor central é necessariamente 1.

A questão trabalha com uma variável dicotômica codificada como -1 (insatisfeito) e 1 (satisfeito). A média amostral é dada por:

\bar{X} = \frac{\sum X_i}{n}

Seja $p$ a proporção de entrevistados satisfeitos (X = 1). Então a proporção de insatisfeitos é $1-p$ (X = -1). A média amostral é:

\bar{X} = p \cdot 1 + (1-p) \cdot (-1) = p - 1 + p = 2p - 1

Igualando a 0,5:

2p - 1 = 0,5 \Rightarrow 2p = 1,5 \Rightarrow p = 0,75

Portanto, 75% das observações são iguais a 1 e 25% são iguais a -1. Ao ordenar a amostra, os primeiros 25% são -1 e os 75% restantes são 1. A mediana é o valor que ocupa a posição central (ou a média dos dois valores centrais, se n for par). Como mais da metade das observações (75%) são iguais a 1, o valor central — ou a média dos dois centrais — será sempre 1. Assim, a mediana amostral é 1.

A pegadinha aqui é tentar relacionar a mediana diretamente com a média, o que não é válido. A mediana depende apenas da ordem dos dados, não dos valores numéricos em si. Como a variável só assume dois valores, a mediana só pode ser -1 ou 1. Como a maioria é 1, a mediana é 1.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0 não é um valor possível da variável X (que só assume -1 e 1). A mediana, sendo um dos valores da amostra, não pode ser 0. Além disso, a mediana não é a média dos valores possíveis.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 0,25 não corresponde a nenhuma medida de posição dessa amostra. A mediana, por definição, é um valor que divide a amostra ordenada ao meio; como a variável é dicotômica, a mediana só pode ser -1 ou 1. O valor 0,25 não é um valor observado.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A mediana não é igual à média. Embora a média seja 0,5, a mediana é o valor central da amostra ordenada. Como 75% das observações são 1, o valor central é 1, não 0,5. A mediana só seria 0,5 se a variável pudesse assumir esse valor, o que não ocorre.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 0,75 é a proporção de satisfeitos (p = 0,75), não a mediana. A mediana é um valor da variável, não uma proporção. Confundir a proporção com a mediana é um erro comum.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado, a proporção de satisfeitos é 0,75. Assim, ao ordenar a amostra, mais da metade das observações são iguais a 1, de modo que o valor central (ou a média dos dois centrais) é 1. A mediana amostral é, portanto, igual a 1.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta induzir o candidato a achar que a mediana é igual à média (0,5) ou a algum valor intermediário. Mas a mediana é o valor central da amostra ordenada — e, como a variável só assume -1 e 1, a mediana só pode ser um desses dois valores. Como a maioria (75%) é 1, a mediana é 1. Fique atento: média e mediana são medidas diferentes e só coincidem em distribuições simétricas.

PEGA ESSA DICA!

Para variáveis dicotômicas (dois valores), a mediana é sempre um dos dois valores possíveis. Se a proporção de um dos valores for maior que 50%, a mediana será esse valor. Calcule a proporção a partir da média e compare com 50%.

Gabarito: letra E