Questão de Engenharia Elétrica — Circuitos Elétricos na Engenharia Elétrica — CESPE / CEBRASPE 2022

Análise e síntese de sistemas lineares: estabilidade, função de transferência e resposta transitória

Gabarito: letra A. Um sistema linear em malha fechada é estável se, e somente se, todos os polos da sua função de transferência em malha fechada estiverem no semiplano esquerdo do plano s (parte real negativa). Essa é a condição clássica de estabilidade para sistemas contínuos no domínio de Laplace, e é exatamente o que a alternativa A afirma.

A questão cobra conceitos fundamentais de sistemas de controle e análise de sistemas lineares: estabilidade, definição de função de transferência, classificação de sistemas de segunda ordem quanto ao amortecimento, definição de tempo de subida e representação em espaço de estados. Cada alternativa explora uma definição ou propriedade específica, e a banca mistura conceitos corretos com inversões sutis para confundir o candidato.

Vamos analisar cada alternativa em detalhe.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A estabilidade de um sistema linear contínuo em malha fechada é determinada pela localização dos polos da função de transferência em malha fechada no plano s. Para que o sistema seja estável, todos os polos devem ter parte real negativa, ou seja, estar localizados no semiplano esquerdo do plano s. Polos no semiplano direito indicam instabilidade, e polos sobre o eixo imaginário indicam estabilidade marginal (oscilações sustentadas).

Essa é a condição fundamental de estabilidade para sistemas contínuos, derivada da análise da resposta natural do sistema: cada polo $p_i$ contribui com um termo $e^{p_i t}$ na resposta temporal. Se $\text{Re}(p_i) < 0$, o termo decai exponencialmente; se $\text{Re}(p_i) > 0$, o termo cresce sem limite, tornando o sistema instável.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A função de transferência $G(s)$ de um sistema linear invariante no tempo é definida como a razão entre a transformada de Laplace da saída e a transformada de Laplace da entrada, considerando condições iniciais nulas. Ou seja, $G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}$, onde $Y(s)$ é a saída e $X(s)$ é a entrada.

A alternativa inverte a definição, apresentando $G(s) = \frac{X(s)}{Y(s)}$, o que está errado. Essa inversão é uma pegadinha clássica: o candidato que não domina a definição pode confundir a ordem. A função de transferência relaciona a saída em função da entrada, não o contrário.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Um sistema de segunda ordem é classificado como criticamente amortecido quando o coeficiente de amortecimento $\zeta = 1$. Nesse caso, a função de transferência em malha fechada possui dois polos reais e iguais (polos repetidos), não dois polos distintos.

A alternativa afirma que o sistema é criticamente amortecido se possuir dois polos distintos, o que está incorreto. Dois polos reais e distintos correspondem a um sistema superamortecido ($\zeta > 1$). A classificação correta é:

Alternativa D — ❌ Incorreta

O tempo de subida ($t_r$) de um sistema de segunda ordem é definido como o tempo necessário para que a resposta passe de 10% a 90% do valor final (para sistemas subamortecidos) ou de 0 a 100% do valor final (para sistemas superamortecidos). É uma medida da velocidade da resposta transitória.

A alternativa define o tempo de subida como o tempo para a resposta atingir o primeiro pico de sobressinal, o que corresponde ao tempo de pico ($t_p$), não ao tempo de subida. Essa é uma confusão comum entre as especificações de resposta transitória:

Alternativa E — ❌ Incorreta

Na representação em espaço de estados, o vetor de estados é definido como o conjunto de variáveis de estado que descrevem completamente a dinâmica do sistema. As variáveis de estado são as variáveis que, juntamente com as entradas, determinam o comportamento futuro do sistema. O vetor de estados é denotado por $x(t)$ e as derivadas das variáveis de estado são dadas pela equação de estado $\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)$.

A alternativa afirma que o vetor de estados é o conjunto das derivadas das variáveis de estado, o que está incorreto. O vetor de estados é o conjunto das próprias variáveis de estado, não de suas derivadas. As derivadas são calculadas a partir do vetor de estados e das entradas, mas não constituem o vetor de estados em si.

Gabarito: letra A