Questão de Física — Gravitação Universal — CESPE / CEBRASPE 2022

Gravitação: Sistema Binário de Estrelas

Gabarito: letra C. A distância constante entre as estrelas em órbita circular é dada por $d = \frac{(M_1+M_2)L^2}{G M_1^2 M_2^2}$, deduzida igualando-se a força gravitacional à força centrípeta no referencial do centro de massa. Essa expressão corresponde exatamente à alternativa C.

Fundamentação

No sistema binário isolado, as estrelas giram em torno do centro de massa com mesma velocidade angular $\omega$. As distâncias ao CM são: $r_1 = \frac{M_2 d}{M_1+M_2}, \quad r_2 = \frac{M_1 d}{M_1+M_2}.$ A força gravitacional $F = \frac{G M_1 M_2}{d^2}$ atua como a resultante centrípeta para cada estrela. Para (M_1): $\frac{G M_1 M_2}{d^2} = M_1 \omega^2 r_1 \Rightarrow \omega^2 = \frac{G(M_1+M_2)}{d^3}.$ O momento de inércia do sistema em relação ao CM é: $I = M_1 r_1^2 + M_2 r_2^2 = \frac{M_1 M_2 d^2}{M_1+M_2}.$ O momento angular total $L = I\omega$: $L = \frac{M_1 M_2 d^2}{M_1+M_2} \sqrt{\frac{G(M_1+M_2)}{d^3}} = M_1 M_2 \sqrt{\frac{G d}{M_1+M_2}}.$ Elevando ao quadrado e isolando (d): $L^2 = \frac{G M_1^2 M_2^2 d}{M_1+M_2} \quad \Rightarrow \quad d = \frac{(M_1+M_2)L^2}{G M_1^2 M_2^2}.$

Alternativa A — ❌ Incorreta

Provavelmente apresenta $d = \frac{L^2 (M_1+M_2)}{G M_1 M_2}$, omitindo os quadrados nas massas. O erro está em não elevar as massas ao quadrado no denominador, subestimando a dependência correta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Possivelmente inverte a relação: $d = \frac{G M_1 M_2}{L^2 (M_1+M_2)}$. Isso corresponde ao inverso da expressão correta, derivado de um erro algébrico ao isolar (d).

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Exatamente a expressão deduzida: $d = \frac{(M_1+M_2)L^2}{G M_1^2 M_2^2}$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Provavelmente confunde as massas no numerador: $d = \frac{M_1 M_2 L^2}{G (M_1+M_2)^2}$, que surge ao tratar o momento de inércia de forma equivocada $por exemplo, usando (I = \frac{M_1 M_2 d^2}{(M_1+M_2)^2})$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Possui uma combinação errada de expoentes, como $d = \frac{L^2}{G M_1 M_2 (M_1+M_2)}$, que resulta da omissão do quadrado no momento angular ou da simplificação incorreta das massas.

Gabarito: letra C.