Física · CESPE / CEBRASPE · 2022 | Questão sqc-ce141610

Conservação da Energia Mecânica na Gravitação

Gabarito: letra C. A energia cinética da massa pontual $m$ ao chegar à distância $R$ do centro é obtida pela conservação da energia mecânica entre as posições inicial ( $r_i = 2R$ ) e final ( $r_f = R$ ). Como a massa $M$ está uniformemente distribuída em uma esfera, para pontos externos ou na superfície, ela se comporta como se toda a massa estivesse concentrada no centro, e a energia potencial gravitacional é $U = -G\frac{Mm}{r}$ . Aplicando a conservação, obtém-se $K_f = \frac{1}{2} \frac{GMm}{R}$ , que corresponde à alternativa C.

A questão explora dois conceitos fundamentais da gravitação: a lei da gravitação universal e a conservação da energia mecânica. A lei de Newton estabelece que a força entre duas massas é diretamente proporcional ao produto das massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância, sendo sempre atrativa. Para uma distribuição esférica uniforme de massa, o teorema da casca (demonstrado por Newton) garante que, para pontos externos ou na superfície, a atração é idêntica à de uma massa pontual concentrada no centro. Isso permite usar a expressão da energia potencial gravitacional $U = -G\frac{Mm}{r}$ para $r \geq R$ .

Como a massa $m$ parte do repouso, sua energia cinética inicial é nula. A energia mecânica total se conserva, pois apenas a força gravitacional (conservativa) atua. Assim, a variação de energia potencial entre as duas posições é convertida integralmente em energia cinética. A pegadinha clássica é esquecer o sinal negativo da energia potencial ou errar a subtração das frações, o que leva a resultados como $\frac{GMm}{R}$ ou $\frac{3}{2}\frac{GMm}{R}$ .

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{GMm}{R}$ . Esse valor corresponderia à energia potencial em $r = R$ (em módulo), mas não à variação de energia cinética. O aluno que erra aqui provavelmente calculou apenas $|U_f|$ , ignorando a energia potencial inicial em $r = 2R$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{3}{2}\frac{GMm}{R}$ . Esse valor é o dobro do correto, sugerindo um erro na subtração das frações: $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ , e não $\frac{3}{2}$ . Também poderia resultar de uma soma incorreta das energias potenciais.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta $\frac{1}{2}\frac{GMm}{R}$ . Pela conservação da energia mecânica:

K_i + U_i = K_f + U_f

Com $K_i = 0$ , $U_i = -G\frac{Mm}{2R}$ e $U_f = -G\frac{Mm}{R}$ :

0 - G\frac{Mm}{2R} = K_f - G\frac{Mm}{R}

K_f = G\frac{Mm}{R} - G\frac{Mm}{2R} = \frac{1}{2}\frac{GMm}{R}

A alternativa está correta porque reflete exatamente a conversão da diferença de energia potencial em energia cinética.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{3}{4}\frac{GMm}{R}$ . Esse valor não corresponde a nenhuma combinação simples das energias envolvidas. Pode ter sido obtido por um erro na manipulação algébrica, como considerar $\frac{1}{R} - \frac{1}{2R} = \frac{1}{2R}$ e depois multiplicar por $\frac{3}{2}$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{2}{3}\frac{GMm}{R}$ . Também não corresponde ao resultado correto. Provavelmente resulta de uma confusão entre as distâncias ou de um erro na inversão das frações.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a troca do sinal da energia potencial e a subtração de frações. Muitos candidatos calculam apenas $|U_f| = \frac{GMm}{R}$ (alternativa A) ou erram a conta $1 - \frac{1}{2}$ , obtendo $\frac{3}{2}$ (alternativa B). Lembre-se: a energia potencial é negativa e a variação é que determina a energia cinética. Com atenção aos sinais e às frações, você resolve em segundos 💪.

PEGA ESSA DICA!

Para problemas de gravitação com conservação de energia, monte sempre a equação $K_i + U_i = K_f + U_f$ com $U = -G\frac{Mm}{r}$ . Se a partícula parte do repouso, $K_i = 0$ . Depois, isole $K_f$ e simplifique as frações com cuidado. Esse método vale para qualquer distância inicial e final, desde que ambas sejam maiores ou iguais a $R$ .

Gabarito: letra C