Questão de Física — Eletricidade — CESPE / CEBRASPE 2022

Capacitância de um capacitor esférico

Gabarito: letra D. Para um capacitor esférico formado por duas cascas condutoras concêntricas de raios $a$ e $b$, a capacitância é dada por $C = 4\pi\varepsilon_0 \frac{ab}{b-a}$. Com $b = 1{,}1a$, temos $C = 4\pi\varepsilon_0 \frac{a \cdot 1{,}1a}{1{,}1a - a} = 4\pi\varepsilon_0 \frac{1{,}1a^2}{0{,}1a} = 44\pi\varepsilon_0 a$. Portanto, a alternativa correta é a D.

A capacitância de um capacitor é a medida da sua capacidade de armazenar carga elétrica para uma dada diferença de potencial. Para um capacitor de placas paralelas, ela depende da área das placas e da distância entre elas. Para um capacitor esférico, a geometria é diferente: duas cascas esféricas concêntricas, uma interna de raio $a$ e outra externa de raio $b$. A fórmula geral para essa configuração é:

Essa expressão surge da relação entre a carga $Q$ armazenada e a diferença de potencial $V$ entre as cascas, que pode ser obtida integrando o campo elétrico entre elas. A capacitância depende apenas da geometria (raios) e da permissividade do meio entre as cascas ($\varepsilon_0$ no vácuo).

A pegadinha desta questão está na manipulação algébrica: o aluno pode se perder na fração e errar o coeficiente numérico. Vamos fazer passo a passo:

1. Substituir $b = 1{,}1a$ na fórmula:

   $C = 4\pi\varepsilon_0 \frac{a \cdot 1{,}1a}{1{,}1a - a}$

1. Calcular o numerador: $a \cdot 1{,}1a = 1{,}1a^2$

1. Calcular o denominador: $1{,}1a - a = 0{,}1a$

1. Dividir: $\frac{1{,}1a^2}{0{,}1a} = \frac{1{,}1}{0{,}1} a = 11a$

1. Multiplicar por $4\pi\varepsilon_0$: $C = 4\pi\varepsilon_0 \cdot 11a = 44\pi\varepsilon_0 a$

Portanto, a capacitância é $44\pi\varepsilon_0 a$, que corresponde à alternativa D.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $11\pi\varepsilon_0 a$ seria obtido se, após a divisão, o resultado fosse $11a$ e o fator $4$ fosse esquecido. Ou seja, o aluno que calcula $\frac{ab}{b-a} = 11a$ e não multiplica por $4\pi\varepsilon_0$ chega a $11\pi\varepsilon_0 a$. O erro está em omitir o fator 4 da fórmula da capacitância esférica.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $22\pi\varepsilon_0 a$ não corresponde a nenhum passo intermediário correto. Pode surgir de um erro de cálculo como $\frac{1{,}1}{0{,}1} = 5{,}5$ e depois multiplicar por $4$ (dando 22), mas a divisão correta é 11, não 5,5. Também poderia ser o resultado de $2 \times 11\pi\varepsilon_0 a$, mas não há justificativa física.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $33\pi\varepsilon_0 a$ também não tem base correta. Poderia vir de um erro como $\frac{1{,}1}{0{,}1} = 8{,}25$ (errado) e multiplicar por 4, ou de uma confusão com a fórmula de outro tipo de capacitor. Nenhum cálculo correto leva a 33.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a substituição de $b = 1{,}1a$ na fórmula $C = 4\pi\varepsilon_0 \frac{ab}{b-a}$ resulta em $C = 44\pi\varepsilon_0 a$. O fator 44 vem de $4 \times 11$, onde 11 é o resultado da divisão $\frac{1{,}1}{0{,}1}$. A alternativa está correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $55\pi\varepsilon_0 a$ seria obtido se o aluno errasse a divisão $\frac{1{,}1}{0{,}1}$ como $13{,}75$ e multiplicasse por 4, ou se confundisse a fórmula com outra (por exemplo, usando $b+a$ no denominador). Nenhum cálculo correto produz 55.

Gabarito: letra D.