Questão de Economia — Econometria — CESPE / CEBRASPE 2022

Derivada parcial da função Cobb-Douglas

Gabarito: Certo (C). A derivada parcial de $U = x^{\alpha} y^{\beta}$ em relação a $x$ é, de fato, $\alpha x^{\alpha - 1} y^{\beta}$, pois tratamos $y$ como constante e aplicamos a regra da potência. A afirmação está correta.

A função Cobb-Douglas é amplamente usada em economia para representar funções de utilidade e de produção. No caso da utilidade, $U = x^{\alpha} y^{\beta}$ indica que a satisfação do consumidor depende das quantidades consumidas de dois bens, $x$ e $y$, com pesos dados pelos parâmetros positivos $\alpha$ e $\beta$. Já na teoria da produção, a forma típica é $Q = K^{a} L^{b}$, em que $K$ é capital e $L$ é trabalho.

A derivada parcial em relação a uma variável é obtida mantendo-se as demais variáveis constantes. Para $U = x^{\alpha} y^{\beta}$, ao derivar em relação a $x$, o termo $y^{\beta}$ é tratado como constante. Aplicando a regra do tombo (derivada de $x^{\alpha}$ é $\alpha x^{\alpha - 1}$), obtemos:

Exatamente o que o enunciado afirma. Não há pegadinha aqui: é uma aplicação direta do cálculo diferencial. A banca apenas testa se o candidato sabe derivar parcialmente uma função multiplicativa.

Alternativa C — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A derivada parcial de $U = x^{\alpha} y^{\beta}$ em relação a $x$ é $\alpha x^{\alpha - 1} y^{\beta}$. Isso decorre diretamente da regra da potência, mantendo $y^{\beta}$ constante. A afirmação está correta.

Gabarito: letra C (Certo).