Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2022 | Questão sqc-ce146788

Função densidade de probabilidade: condições para validade

Gabarito: letra D. Para que uma função seja uma fdp em $|x| \le 1$ , ela deve ser não negativa e sua integral no intervalo $[-1,1]$ deve ser igual a 1. A única alternativa que satisfaz ambas as condições é $f(x) = |x|$ , pois $|x| \ge 0$ e $\int_{-1}^{1} |x| \, dx = 1$ .

Uma função densidade de probabilidade (fdp) de uma variável aleatória contínua deve cumprir duas propriedades essenciais:

Não negatividade: $f(x) \ge 0$ para todo $x$ no domínio.
Área total igual a 1: $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1$ .

No caso, o domínio é $|x| \le 1$ , ou seja, $x \in [-1, 1]$ . Fora desse intervalo, $f(x) = 0$ . Portanto, a condição de área total se reduz a $\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 1$ .

A banca explora exatamente a verificação dessas duas condições. Muitas alternativas falham na não negatividade (assumem valores negativos em parte do intervalo) ou na área total (não integram 1). Vamos analisar cada uma.

Não negativa

Área total = 1

Demais alternativas

✅ Satisfaz

❌ Falham em uma ou ambas

Alternativa D (|x|)

✅ Satisfaz

❌ Falham em uma ou ambas

LEVEL · soulevel.com.br

Alternativa A — ❌ Incorreta

$f(x) = 1$ é não negativa, mas a integral no intervalo é $\int_{-1}^{1} 1 \, dx = 2$ , não 1. Portanto, não é uma fdp válida.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$f(x) = x$ assume valores negativos para $x < 0$ (por exemplo, $f(-0,5) = -0,5$ ), violando a condição de não negatividade. Além disso, $\int_{-1}^{1} x \, dx = 0$ , pois a função é ímpar.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$f(x) = x + 1/2$ é não negativa no intervalo? Verifiquemos: para $x = -1$ , $f(-1) = -1 + 1/2 = -1/2 < 0$ . Portanto, viola a não negatividade. Além disso, a integral $\int_{-1}^{1} (x + 1/2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} + \frac{x}{2} \right]_{-1}^{1} = (1/2 + 1/2) - (1/2 - 1/2) = 1 - 0 = 1$ . A área até dá 1, mas a função é negativa em parte do domínio, o que a desqualifica.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$f(x) = |x|$ é sempre não negativa (módulo). A integral no intervalo é $\int_{-1}^{1} |x| \, dx = 2 \int_{0}^{1} x \, dx = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ . Portanto, satisfaz as duas condições: não negatividade e área total 1. É a única alternativa que cumpre ambas.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$f(x) = -x^2$ é sempre não positiva (exceto em $x=0$ , onde é zero). Viola a não negatividade. Além disso, a integral $\int_{-1}^{1} -x^2 \, dx = -\frac{2}{3} \neq 1$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta confundir o candidato com funções que têm área 1 (como a alternativa C) mas que assumem valores negativos em parte do domínio. Lembre-se: uma fdp deve ser não negativa em todo o domínio e ter área total 1. A alternativa C é a armadilha clássica: a área dá 1, mas a função é negativa para $x < -1/2$ . Sempre verifique as duas condições.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver rapidamente, teste primeiro a não negatividade: se a função assume valor negativo em algum ponto do intervalo, descarte. Depois, calcule a integral. No caso de funções com módulo, lembre-se de que $|x|$ é simétrica, então a integral de $-1$ a $1$ é o dobro da integral de $0$ a $1$ .

Gabarito: letra D