Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2022

Distribuição exponencial e o tempo até o primeiro evento

✅ CERTO. A distribuição exponencial é o modelo probabilístico adequado para descrever o tempo até a ocorrência de um evento em um processo de Poisson, como o intervalo entre chamadas telefônicas. Assim, a probabilidade de um atendente receber uma ligação em até 10 minutos pode, sim, ser calculada por meio da distribuição exponencial, desde que o processo de chegada das ligações siga as premissas de um processo de Poisson (eventos independentes e taxa constante).

A distribuição exponencial é uma distribuição de probabilidade contínua que modela o tempo entre eventos em um processo de Poisson. Ela é amplamente utilizada para descrever tempos de espera, como o tempo até a próxima chamada em um call center, o tempo de vida de componentes eletrônicos ou o tempo entre chegadas de clientes. Sua função densidade de probabilidade é dada por $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$, para $x \geq 0$, em que $\lambda$ é a taxa média de ocorrência do evento por unidade de tempo.

A probabilidade de que o tempo até o próximo evento seja menor ou igual a um valor $x_0$ é dada pela função de distribuição acumulada $F(x_0) = 1 - e^{-\lambda x_0}$. No contexto do enunciado, se o gerente conhece a taxa média de chegada de ligações ($\lambda$), ele pode calcular diretamente $P(X \leq 10) = 1 - e^{-10\lambda}$, que é exatamente a probabilidade de receber uma ligação em até 10 minutos.

A principal distinção que a banca explora é entre a distribuição exponencial e a distribuição de Poisson. Enquanto a exponencial modela o tempo entre eventos (variável contínua), a Poisson modela o número de eventos em um intervalo fixo (variável discreta). São complementares: se o número de eventos em um intervalo segue Poisson, o tempo entre eventos segue exponencial. A pegadinha seria usar Poisson para responder a uma pergunta sobre tempo, ou vice-versa.

A razão pela qual a exponencial é adequada aqui é a propriedade de falta de memória: a probabilidade de o evento ocorrer nos próximos 10 minutos não depende de quanto tempo já se passou desde o último evento. Isso torna o modelo natural para processos de chegada aleatória, como ligações telefônicas.

Gabarito: ✅ CERTO.