Questão de Economia — Microeconomia — CESPE / CEBRASPE 2022

Minimização de Custo no Longo Prazo com Função Cobb-Douglas

✅ CERTO. A condição de minimização de custo no longo prazo iguala a Taxa Marginal de Substituição Técnica (TMST) à razão dos preços dos fatores. Para a função de produção $q = 1200 K^{2/3} L^{1/3}$, com preços do capital $w_K = 6$ e do trabalho $w_L = 24$, a TMST é $\frac{MP_L}{MP_K} = \frac{1}{2}\frac{K}{L}$. Igualando a $\frac{w_L}{w_K} = 4$, obtém-se $\frac{K}{L} = 8$. Substituindo $K = 8L$ na função de produção para $q = 24000$: $24000 = 1200 (8L)^{2/3} L^{1/3} = 1200 \cdot 4 L = 4800 L$, logo $L = 5$. Portanto, a afirmação está correta.

Análise Detalhada

• Passo 1: Cálculo das Produtividades Marginais

  • $MP_L = \frac{\partial q}{\partial L} = 1200 \cdot \frac{1}{3} K^{2/3} L^{-2/3} = 400 \left(\frac{K}{L}\right)^{2/3}$

  • $MP_K = \frac{\partial q}{\partial K} = 1200 \cdot \frac{2}{3} K^{-1/3} L^{1/3} = 800 \left(\frac{L}{K}\right)^{1/3}$

  • $TMST = \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{400}{800} \left(\frac{K}{L}\right)^{2/3} \left(\frac{K}{L}\right)^{1/3} = \frac{1}{2} \frac{K}{L}$

• Passo 2: Condição de Otimização

  • $TMST = \frac{w_L}{w_K} \Rightarrow \frac{1}{2} \frac{K}{L} = \frac{24}{6} = 4 \Rightarrow \frac{K}{L} = 8$

• Passo 3: Substituir na Função de Produção

  • $q = 1200 K^{2/3} L^{1/3} = 1200 (8L)^{2/3} L^{1/3} = 1200 \cdot 8^{2/3} L = 1200 \cdot 4 L = 4800 L$

  • Para $q = 24000$: $24000 = 4800 L \Rightarrow L = 5$

• Passo 4: Conclusão

  • A quantidade ótima de trabalho é exatamente 5 unidades. Portanto, o item está Certo.

Gabarito: Certo (C).