Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2023 | Questão sqc-ce152169

Amostragem aleatória simples sem reposição: contagem de configurações

Gabarito: letra D. O total de configurações de uma amostra aleatória simples sem reposição de tamanho n = 3 retirada de uma população de N = 10 elementos é dado pela combinação de 10 elementos tomados 3 a 3, ou seja, $C_{10,3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = 120$ . A ordem dos elementos na amostra não importa, pois a amostra é um conjunto, não uma sequência.

A amostragem aleatória simples (AAS) é o processo de seleção de uma amostra em que cada elemento da população tem a mesma probabilidade de ser incluído. Quando a seleção é sem reposição, um mesmo elemento não pode ser escolhido mais de uma vez, e o tamanho da população diminui a cada extração. O número de amostras possíveis de tamanho n que podem ser formadas a partir de uma população de tamanho N, sem reposição e sem considerar a ordem, é exatamente o número de combinações de N elementos tomados n a n.

A distinção crucial aqui é entre combinação e arranjo. Se a ordem dos elementos na amostra fosse relevante (por exemplo, se estivéssemos contando sequências ordenadas de extração), usaríamos arranjo: $A_{10,3} = 10 \times 9 \times 8 = 720$ . No entanto, uma amostra é um subconjunto da população, e a ordem em que os elementos foram sorteados não altera a composição da amostra. Portanto, o conjunto {Y1, Y2, Y3} é a mesma amostra que {Y3, Y2, Y1}. É exatamente essa a pegadinha que a banca explora: o candidato que não percebe que a ordem não importa calcula 720 (arranjo) e erra.

A razão pela qual usamos combinação é que a amostra é definida como um subconjunto próprio não vazio da população. Um subconjunto não tem ordem interna; ele é caracterizado apenas pelos elementos que o compõem. Assim, o número de configurações possíveis é o número de subconjuntos de tamanho 3 que podem ser formados a partir de 10 elementos.

Configurações de amostragem — só Amostras possíveis: 120; só Arranjos ordenados: 720; Amostras possíveis∩Arranjos ordenados: 0

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 1.000 corresponde a $10^3$ , que seria o número de amostras possíveis com reposição e considerando a ordem (cada uma das 3 extrações tem 10 possibilidades). Como a questão especifica sem reposição, esse valor não se aplica.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 720 corresponde ao arranjo de 10 elementos tomados 3 a 3: $A_{10,3} = 10 \times 9 \times 8 = 720$ . Esse cálculo considera a ordem dos elementos como relevante, o que não é o caso para uma amostra, que é um conjunto. A banca usa esse distrator para pegar quem confunde combinação com arranjo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 240 não corresponde a nenhum cálculo direto de combinação ou arranjo para N = 10 e n = 3. Pode ser um distrator aleatório ou resultado de um cálculo parcial incorreto (por exemplo, $10 \times 8 \times 3$ ). Não há fundamento estatístico ou combinatório para esse número.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O total de configurações é dado pela combinação de 10 elementos tomados 3 a 3:

C_{10,3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = 120

Como a amostra é um subconjunto da população, a ordem dos elementos não importa, e a seleção é sem reposição. Portanto, o número de amostras possíveis é 120.

NÃO CAIA NESSA!

A banca troca o conceito de combinação (ordem não importa) pelo de arranjo (ordem importa). O candidato que calcula $10 \times 9 \times 8 = 720$ cai na alternativa B, mas esquece que a amostra {Y1, Y2, Y3} é idêntica à {Y3, Y2, Y1}. Lembre-se: amostra é conjunto, não sequência. 💪

PEGA ESSA DICA!

Para identificar se é combinação ou arranjo, pergunte-se: "a ordem dos elementos faz diferença?" Se a resposta for não (como no caso de uma amostra), use combinação. Se for sim (como em uma sequência de extração ou classificação), use arranjo. Essa distinção é a chave para resolver questões de contagem em amostragem.

Gabarito: letra D