Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2023 | Questão sqc-ce152170

Probabilidade condicional e união de eventos

Gabarito: letra B. Aplicando a definição de probabilidade condicional e a fórmula da união, obtém-se $P(B|A) = 0,50$ . A chave está em usar $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ e $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ para montar um sistema que relaciona as probabilidades dadas.

Vamos resolver passo a passo. Seja $x = P(A \cap B)$ . Da definição de probabilidade condicional:

P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{x}{P(A)}

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{x}{P(B)}

O enunciado fornece $P(B|A) = 2P(A|B)$ . Substituindo as expressões acima:

\frac{x}{P(A)} = 2 \cdot \frac{x}{P(B)}

Como $x > 0$ (pois $P(A|B) > 0$ ), podemos dividir ambos os lados por $x$ :

\frac{1}{P(A)} = \frac{2}{P(B)} \Rightarrow P(B) = 2P(A)

Agora, a segunda condição: $2P(A \cup B) = 5P(A)$ . Usando a fórmula da união:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A) + 2P(A) - x = 3P(A) - x

Substituindo na condição:

2(3P(A) - x) = 5P(A) \Rightarrow 6P(A) - 2x = 5P(A) \Rightarrow x = \frac{P(A)}{2}

Portanto, $P(A \cap B) = \frac{P(A)}{2}$ . Finalmente:

P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{P(A)/2}{P(A)} = \frac{1}{2} = 0,50

Eventos A e B — só Evento A: —; só Evento B: —; Evento A∩Evento B: P(A)/2

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0,20 não satisfaz as condições. Se $P(B|A) = 0,20$ , então $P(A \cap B) = 0,20 \cdot P(A)$ . Da relação $P(B|A) = 2P(A|B)$ , teríamos $P(A|B) = 0,10$ , o que implicaria $P(A \cap B) = 0,10 \cdot P(B)$ . Igualando as duas expressões para a interseção, $0,20 P(A) = 0,10 P(B)$ , logo $P(B) = 2P(A)$ , o que é consistente. Mas a segunda condição $2P(A \cup B) = 5P(A)$ não seria satisfeita: com $P(A \cap B) = 0,20 P(A)$ , teríamos $P(A \cup B) = P(A) + 2P(A) - 0,20P(A) = 2,80P(A)$ , e $2P(A \cup B) = 5,60P(A) \neq 5P(A)$ . Portanto, 0,20 é um distrator.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $P(B|A) = 0,50$ . A resolução usa exatamente as duas relações fornecidas: a igualdade entre as condicionais e a condição sobre a união. O valor 0,50 é o único que torna o sistema consistente.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 0,70 não satisfaz as condições. Se $P(B|A) = 0,70$ , então $P(A \cap B) = 0,70 P(A)$ . Da relação com $P(A|B)$ , teríamos $P(A|B) = 0,35$ , logo $P(A \cap B) = 0,35 P(B)$ . Igualando, $0,70 P(A) = 0,35 P(B)$ , então $P(B) = 2P(A)$ , o que é consistente com a primeira condição. Mas a segunda condição falha: $P(A \cup B) = P(A) + 2P(A) - 0,70P(A) = 2,30P(A)$ , e $2P(A \cup B) = 4,60P(A) \neq 5P(A)$ . Portanto, 0,70 é um distrator.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 0,80 também não satisfaz as condições. Se $P(B|A) = 0,80$ , então $P(A \cap B) = 0,80 P(A)$ . Da relação com $P(A|B)$ , teríamos $P(A|B) = 0,40$ , logo $P(A \cap B) = 0,40 P(B)$ . Igualando, $0,80 P(A) = 0,40 P(B)$ , então $P(B) = 2P(A)$ , consistente com a primeira condição. Mas a segunda condição falha: $P(A \cup B) = P(A) + 2P(A) - 0,80P(A) = 2,20P(A)$ , e $2P(A \cup B) = 4,40P(A) \neq 5P(A)$ . Portanto, 0,80 é um distrator.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a pressa: muitos candidatos tentam resolver por tentativa e erro, testando os valores nas alternativas, mas sem montar o sistema corretamente. O erro clássico é esquecer de usar a relação $P(B) = 2P(A)$ derivada da primeira condição, ou aplicar a fórmula da união de forma incorreta. Com treino, você enxerga que a questão é puramente algébrica e resolve em poucos passos 💪.

PEGA ESSA DICA!

Sempre que a questão fornecer relações entre probabilidades condicionais e união, escreva todas as definições em termos de $P(A)$ , $P(B)$ e $P(A \cap B)$ . Isso transforma o problema em um sistema de equações, eliminando a necessidade de chutar valores.

Gabarito: letra B