Questão de Estatística — Amostragem — CESPE / CEBRASPE 2023

Variância amostral após inserção de novo elemento

Gabarito: letra C. A variância amostral do conjunto com cinco elementos será igual a 8. Para chegar a esse valor, é preciso recuperar a soma dos quadrados dos desvios a partir da variância amostral original (4) e do tamanho da amostra (4), recalcular a média com o novo elemento (0) e, então, aplicar novamente a fórmula da variância amostral com n = 5.

A questão trabalha com a variância amostral, cuja fórmula é $s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$. O ponto central é que, ao inserir um novo elemento, tanto a média quanto a soma dos quadrados dos desvios mudam, e é preciso recalcular tudo a partir das informações originais.

Passo 1 — Recuperar a soma dos valores originais.

A média amostral inicial é 5, com n = 4. Assim:

Passo 2 — Recuperar a soma dos quadrados dos desvios original.

A variância amostral inicial é 4. Pela definição:

Passo 3 — Calcular a nova média com o quinto elemento (0).

Passo 4 — Calcular a nova soma dos quadrados dos desvios.

A nova soma dos quadrados dos desvios em relação à nova média (4) pode ser obtida pela relação:

Substituindo:

Passo 5 — Calcular a nova variância amostral.

Com n = 5:

Perceba que o resultado é 4, e não 8. Vamos verificar o cálculo com mais cuidado, pois há uma sutileza na fórmula de atualização.

Na verdade, a relação correta para a soma dos quadrados dos desvios em relação à nova média é:

Isso porque:

Como $\sum (x_i - \bar{x}_4) = 0$, o termo do meio se anula, restando:

Portanto, a nova variância amostral é:

No entanto, o gabarito oficial aponta a letra C (8). Vamos refazer o cálculo considerando que a variância amostral original foi calculada com o denominador n (variância populacional) em vez de n-1. Se a variância "amostral" de 4 tivesse sido calculada como $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}$, então:

Com a nova média 4:

Se a nova variância também for calculada com denominador n (5):

Ainda não chega a 8. Vamos tentar outra interpretação: talvez a variância amostral original de 4 tenha sido calculada com denominador n-1, mas a nova variância seja pedida com denominador n (variância populacional da amostra). Nesse caso:

Não é 8. Vamos verificar se há erro na fórmula de atualização. A fórmula correta para adicionar um novo elemento é:

Aplicando:

Agora sim! A nova soma dos quadrados dos desvios é 32. Portanto:

O erro no passo anterior foi usar a fórmula com $n$ multiplicando $(\bar{x}_4 - \bar{x}_5)^2$, que só vale para atualizar a soma em relação à média antiga, não para a nova média. A fórmula correta para adicionar um ponto é a que usa $\frac{n}{n+1}(x_{n+1} - \bar{x}_n)^2$.

Resumo do cálculo correto:

1. Soma original: $\sum x_i = 4 \times 5 = 20$

2. Soma dos quadrados dos desvios original: $\sum (x_i - 5)^2 = 4 \times (4-1) = 12$

3. Novo elemento: $x_5 = 0$

4. Nova soma dos quadrados dos desvios: $12 + \frac{4}{5}(0-5)^2 = 12 + 20 = 32$

5. Nova variância amostral: $s^2 = \frac{32}{5-1} = 8$

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 3 não corresponde a nenhum cálculo intermediário relevante. Se o candidato dividisse a nova soma dos quadrados (32) por um denominador incorreto, como 10 ou 11, chegaria a valores próximos, mas 3 não tem fundamento nos dados.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 4 é a variância amostral original. O candidato pode ser induzido a pensar que a inserção de um zero não altera a variância, o que é incorreto, pois o zero se afasta da nova média (4), aumentando a dispersão.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a nova soma dos quadrados dos desvios é 32 e, com n = 5, a variância amostral é $\frac{32}{4} = 8$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 10 não tem relação com os cálculos. Poderia surgir de um erro ao calcular a nova soma dos quadrados como $12 + 4 \times 25 = 112$ e depois dividir por um denominador errado, mas não corresponde a nenhuma operação correta.

Gabarito: letra C