Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2023
Estatística›Cálculo de Probabilidades
Código
ce152303
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
CGDF
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Auditor De Controle Interno Do Distrito Federal – Especialidade Planejamento E Orçamento
Três diferentes metodologias de trabalho – M₁, M₂ e M₃ – propiciam diferentes probabilidades de sucesso na execução de uma tarefa e, do ponto de vista probabilístico, essas probabilidades são P(S|M₁) = 0,9, P(S|M₂) = 8 e P(S|M₃) = 0,7, em que S é o evento que indica sucesso na execução da tarefa. Os eventos M₁, M₂ e M₃formam uma partição do espaço amostral e P(M₁) = 0,2 e P(M₂) = 0,3.De acordo com essas informações, caso uma tarefa tenha sucesso, a probabilidade de que ela tenha sido executada pela metodologia M₁ será igual a
A9/50.
B1/5.
C18/77.
D9/10.
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GabaritoC — 18/77.
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Teorema de Bayes e probabilidade total
Gabarito: letra C. A questão pede a probabilidade de a tarefa ter sido executada pela metodologia M₁, dado que houve sucesso — ou seja, P(M₁|S). Pelo Teorema de Bayes, P(M₁|S) = P(S|M₁)·P(M₁) / P(S), e P(S) é obtida pela lei da probabilidade total: P(S) = P(S|M₁)·P(M₁) + P(S|M₂)·P(M₂) + P(S|M₃)·P(M₃). Substituindo os valores, chega-se a 18/77.
O Teorema de Bayes é a ferramenta central para "inverter" probabilidades condicionais: ele permite calcular P(causa|efeito) a partir de P(efeito|causa) e das probabilidades a priori das causas. Aqui, as "causas" são as metodologias M₁, M₂ e M₃, que formam uma partição do espaço amostral (são mutuamente exclusivas e exaustivas), e o "efeito" é o sucesso S. A lei da probabilidade total soma as contribuições de cada metodologia para o sucesso, ponderadas pela probabilidade de cada metodologia ser escolhida.
Passo a passo do cálculo:
Probabilidades a priori: P(M₁) = 0,2, P(M₂) = 0,3. Como a partição soma 1, P(M₃) = 1 − 0,2 − 0,3 = 0,5.
Probabilidades condicionais de sucesso: P(S|M₁) = 0,9, P(S|M₂) = 0,8, P(S|M₃) = 0,7. (Note que o enunciado traz "P(S|M₂) = 8", o que é um erro de digitação evidente — probabilidade deve estar entre 0 e 1; o valor correto é 0,8.)
Probabilidade total de sucesso:
Teorema de Bayes:
Portanto, a probabilidade pedida é 18/77, que corresponde à letra C.
9/50 é o resultado de calcular apenas o numerador (0,18) e dividir por 0,5 (a probabilidade de M₃), ou seja, um erro de interpretação: usa-se P(M₃) no denominador em vez de P(S). O correto é dividir pelo sucesso total P(S) = 0,77.
Alternativa B — ❌ Incorreta
1/5 é simplesmente P(M₁) = 0,2, ignorando completamente a informação sobre o sucesso. A probabilidade condicional P(M₁|S) não é igual à probabilidade a priori P(M₁); ela é atualizada pela evidência do sucesso.
Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Como demonstrado, P(M₁|S) = 18/77. O cálculo usa corretamente a lei da probabilidade total para obter P(S) = 0,77 e o Teorema de Bayes para inverter a condicional.
Alternativa D — ❌ Incorreta
9/10 é o valor de P(S|M₁) = 0,9, que é a probabilidade de sucesso dado que a metodologia é M₁ — exatamente o inverso do que se pede. A banca troca a condicional: P(S|M₁) ≠ P(M₁|S).
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a confusão entre P(S|M₁) e P(M₁|S). A alternativa D apresenta justamente P(S|M₁) = 0,9, tentando fazer o candidato acreditar que é a resposta. Lembre-se: o Teorema de Bayes existe para inverter condicionais — nunca confunda a probabilidade de sucesso dado o método com a probabilidade do método dado o sucesso.
PEGA ESSA DICA!
Em questões de Bayes, identifique primeiro o que é pedido (a condicional invertida) e monte o denominador pela lei da probabilidade total. Treine com exercícios que envolvam partição do espaço amostral — é o padrão mais comum em concursos.