Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2023

Probabilidade da união de eventos com subconjunto e independência

Gabarito: letra B (0,65). Como $A \subset B$, a união $A \cup B$ se reduz a $B$, e como $B$ e $C$ são independentes, a probabilidade da união é $P(B) + P(C) - P(B)P(C) = 0{,}30 + 0{,}50 - 0{,}15 = 0{,}65$. A chave é perceber que $A$ não contribui em nada para a união, pois está contido em $B$.

O problema explora dois conceitos fundamentais de probabilidade: a relação de inclusão entre eventos e a independência estatística. Quando $A \subset B$, todo elemento de $A$ também pertence a $B$, logo $A \cup B = B$. Isso significa que a probabilidade de $A$ é irrelevante para a união com $B$ — ela apenas informa que $A$ é um subconjunto de $B$, mas não altera o conjunto união.

Para eventos independentes $B$ e $C$, a probabilidade da interseção é o produto das probabilidades individuais: $P(B \cap C) = P(B) \cdot P(C)$. Essa é a definição de independência: a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro. No contexto, $P(B \cap C) = 0{,}30 \times 0{,}50 = 0{,}15$.

A fórmula geral da união de três eventos seria $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$. Porém, com $A \subset B$, as interseções $A \cap B = A$, $A \cap C \subset B \cap C$ e $A \cap B \cap C = A \cap C$, o que simplifica drasticamente. O caminho mais direto é notar que $A \cup B = B$, então $P(A \cup B \cup C) = P(B \cup C)$.

A pegadinha clássica é o candidato somar $P(A) + P(B) + P(C) = 0{,}15 + 0{,}30 + 0{,}50 = 0{,}95$ (alternativa D), esquecendo de subtrair as interseções e de considerar que $A$ está contido em $B$. Outro erro comum é subtrair apenas $P(B \cap C) = 0{,}15$, obtendo $0{,}80$ (alternativa C), mas ainda assim somando $P(A)$ indevidamente.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0,50 corresponde apenas a $P(C)$. Ignora completamente a contribuição de $B$ (e de $A$, que está contido em $B$). A união $B \cup C$ tem probabilidade maior que $P(C)$ sozinha, pois $B$ e $C$ não são mutuamente exclusivos — eles se intersectam com probabilidade $0{,}15$, mas a união ainda soma $0{,}65$.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como $A \subset B$, temos $A \cup B = B$. Assim, $P(A \cup B \cup C) = P(B \cup C)$. Pela fórmula da união para eventos independentes:

O valor $0{,}65$ é exatamente o que a alternativa traz.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 0,80 resulta de somar $P(B) + P(C) = 0{,}30 + 0{,}50$ sem subtrair a interseção $P(B \cap C) = 0{,}15$. É o erro de esquecer que, na união, os elementos comuns são contados duas vezes e precisam ser subtraídos uma vez. A fórmula correta exige a subtração da interseção.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 0,95 é a soma simples $P(A) + P(B) + P(C) = 0{,}15 + 0{,}30 + 0{,}50$. Esse cálculo ignora completamente as interseções e a relação de inclusão $A \subset B$. É a armadilha mais comum: somar todas as probabilidades sem considerar que os eventos se sobrepõem. A resposta correta é bem menor, $0{,}65$.

Gabarito: letra B