Questão de Estatística — Amostragem — CESPE / CEBRASPE 2023
Estatística›Amostragem
Código
ce153432
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
DATAPREV
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Analista de Tecnologia da Informação - Perfil: Engenharia Civil
Um estudo estatístico foi realizado para testar a hipótese nula H₀: µ ≤ 37 contra a hipótese alternativa H₁: µ > 37, em que µ denota a média populacional. Nesse estudo, que foi efetuado mediante amostragem aleatória simples de tamanho n = 30, obteve-se uma média amostral igual a 38 e variância amostral igual a 750. Com base nessa situação hipotética, e supondo que a população siga uma distribuição normal, julgue o seguinte item, sabendo que P ( T > 1,7) = 0,05, em que t segue uma distribuição t de Student com 29 graus de liberdade. Se o tamanho da amostra fosse maior que 30, então o valor da probabilidade P(T > 1,7) seria superior a 0,05.
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GabaritoE — Errado
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Distribuição t de Student e o efeito do tamanho da amostra
Gabarito: letra E (ERRADO). A probabilidade é dada para uma distribuição t de Student com 29 graus de liberdade. Se o tamanho da amostra fosse maior que 30, os graus de liberdade aumentariam e a distribuição t se aproximaria da distribuição normal padrão. Nesse caso, o valor crítico para uma cauda de 5% diminuiria (em direção a aproximadamente 1,645), o que significa que seria menor que 0,05, não superior. A afirmação está, portanto, incorreta.
A distribuição t de Student é utilizada em testes de hipóteses sobre a média quando a variância populacional é desconhecida e a amostra é pequena. A estatística de teste é dada por:
em que é a média amostral, é a média sob a hipótese nula, é o desvio padrão amostral e é o tamanho da amostra. Os graus de liberdade são .
A forma da distribuição t depende dos graus de liberdade. Com poucos graus de liberdade, a distribuição tem caudas mais pesadas (mais área nas extremidades) do que a normal padrão. À medida que os graus de liberdade aumentam, a distribuição t se aproxima da distribuição normal padrão. Isso significa que, para um mesmo valor crítico (como 1,7), a probabilidade de a variável t ser maior que esse valor diminui conforme os graus de liberdade aumentam.
No caso da questão, com , os graus de liberdade são , e . Se fosse maior que 30, os graus de liberdade seriam maiores, e a distribuição t seria mais concentrada em torno de zero. Consequentemente, a área à direita de 1,7 (ou seja, ) seria menor que 0,05. A afirmação de que seria superior a 0,05 é, portanto, falsa.
NÃO CAIA NESSA!
A banca inverte a relação entre o tamanho da amostra e a probabilidade na cauda da distribuição t. O candidato pode pensar que, com uma amostra maior, a probabilidade de a estatística exceder um valor fixo aumenta, mas o oposto é verdadeiro: com mais graus de liberdade, a distribuição se aproxima da normal e a cauda fica mais leve, reduzindo a probabilidade.
Caso
Graus de liberdade (gl)
Forma da distribuição t
P(T > 1,7)
n = 30 (gl = 29)
29
Caudas mais pesadas
0,05
n > 30 (gl > 29)
> 29
Aproxima-se da normal padrão (caudas mais leves)
< 0,05
Item — ❌ ERRADO
A afirmativa está incorreta. O aumento do tamanho da amostra (e, consequentemente, dos graus de liberdade) faz com que a distribuição t de Student se aproxime da distribuição normal padrão. Isso reduz a probabilidade de a variável t ser maior que um valor fixo (1,7). Portanto, seria inferior a 0,05, e não superior.