Analista de Tecnologia da Informação - Perfil: Engenharia Elétrica
Um estudo estatístico foi realizado para testar a hipótese nula H₀: µ ≤ 37 contra a hipótese alternativa H₁: µ > 37, em que µ denota a média populacional. Nesse estudo, que foi efetuado mediante amostragem aleatória simples de tamanho n = 30, obteve-se uma média amostral igual a 38 e variância amostral igual a 750. Com base nessa situação hipotética, e supondo que a população siga uma distribuição normal, julgue o seguinte ite, sabendo que P ( T > 1,7) = 0,05, em que t segue uma distribuição t de Student com 29 graus de liberdade. Se o tamanho da amostra fosse maior que 30, então o valor da probabilidade P(T > 1,7) seria superior a 0,05.
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Distribuição t de Student e o efeito do tamanho da amostra
❌ ERRADO. A afirmação de que, com amostra maior que 30, a probabilidade P(T > 1,7) seria superior a 0,05 está incorreta. Na distribuição t de Student, à medida que os graus de liberdade aumentam (o que ocorre com o aumento do tamanho da amostra), a distribuição se aproxima da normal padrão, e a cauda da distribuição fica mais leve. Isso significa que a probabilidade de a variável T ser maior que um valor fixo (como 1,7) diminui conforme n cresce, não aumenta. Portanto, com n > 30, P(T > 1,7) seria menor que 0,05.
A distribuição t de Student é utilizada em testes de hipóteses sobre a média populacional quando a variância populacional é desconhecida e a amostra é pequena. A estatística de teste é dada por , que segue uma distribuição t com graus de liberdade. A forma da distribuição t depende dos graus de liberdade: com poucos graus de liberdade, ela tem caudas mais pesadas (mais probabilidade nas extremidades) e um pico mais baixo; à medida que os graus de liberdade aumentam, ela se aproxima da distribuição normal padrão, com caudas mais leves.
A pegadinha da questão está em inverter o efeito do aumento do tamanho da amostra. O candidato pode pensar que, com mais dados, a probabilidade de observar um valor extremo aumenta, mas o oposto é verdadeiro: com mais informações, a distribuição da estatística de teste se concentra mais em torno da média, reduzindo a probabilidade de valores extremos.
Caso
Graus de liberdade (n−1)
Comportamento da cauda P(T > 1,7)
Resultado
n = 30
29
P(T > 1,7) = 0,05
Referência
n > 30
> 29
Cauda mais leve → P(T > 1,7) < 0,05
Afirmação errada
Item — ❌ Errado
A afirmativa está errada. O aumento do tamanho da amostra de 30 para um valor maior aumenta os graus de liberdade da distribuição t de Student. Com mais graus de liberdade, a distribuição t se aproxima da distribuição normal padrão, que tem caudas mais leves. Portanto, a probabilidade de a variável T ser maior que 1,7 diminui com o aumento de n. Se P(T > 1,7) = 0,05 com 29 graus de liberdade, com mais graus de liberdade essa probabilidade será menor que 0,05, não superior.
PEGA ESSA DICA!
Para questões sobre a distribuição t de Student, lembre-se: quanto maior o número de graus de liberdade, mais a distribuição se aproxima da normal padrão e mais leves são as caudas. Assim, a probabilidade de a variável exceder um valor fixo diminui com o aumento de n. Essa é uma relação inversa que a banca frequentemente explora.