Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2023 | Questão sqc-ce153509

Intervalo de confiança para a média com variância desconhecida

❌ ERRADO. A expressão 38 ± 1,7 não representa um intervalo de 90% de confiança para a média populacional. O intervalo de confiança para a média, quando a variância populacional é desconhecida, é dado por $\bar{x} \pm t_{n-1;\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$ . Com os dados do enunciado, o erro padrão é $\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{750}}{\sqrt{30}} = 5$ , e o quantil fornecido $t_{29;0,05} = 1,7$ corresponde a um nível de confiança de 90% unilateral (ou seja, $\alpha = 0,10$ em uma cauda), não a um intervalo bilateral de 90%. Para um intervalo bilateral de 90%, o quantil correto seria $t_{29;0,05}$ com $\alpha/2 = 0,05$ em cada cauda, o que daria um valor diferente de 1,7 (na verdade, $t_{29;0,05} \approx 1,699$ para $\alpha/2 = 0,05$ , mas o enunciado fornece $P(T > 1,7) = 0,05$ , que é o quantil unilateral). Portanto, a afirmação está incorreta.

O intervalo de confiança é um conceito fundamental em inferência estatística: ele fornece uma faixa de valores plausíveis para o parâmetro populacional (no caso, a média $\mu$ ), com um determinado nível de confiança. Quando a variância populacional é desconhecida — situação comum na prática —, utilizamos a distribuição t de Student com $n-1$ graus de liberdade, em vez da distribuição normal padrão. A fórmula geral é:

IC = \bar{x} \pm t_{n-1;\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}

onde $\bar{x}$ é a média amostral, $s$ é o desvio padrão amostral, $n$ é o tamanho da amostra, e $t_{n-1;\alpha/2}$ é o quantil da distribuição t com $n-1$ graus de liberdade que deixa área $\alpha/2$ em cada cauda (para um intervalo bilateral com nível de confiança $1-\alpha$ ).

A pegadinha desta questão está na interpretação do quantil fornecido. O enunciado informa que $P(T > 1,7) = 0,05$ , ou seja, $t_{29;0,05} = 1,7$ é o quantil que deixa 5% de área na cauda superior. Isso corresponde a um nível de confiança de 90% unilateral (teste de hipótese unilateral à direita), não a um intervalo bilateral de 90%. Para um intervalo bilateral de 90%, precisaríamos do quantil $t_{29;0,025}$ , que deixa 2,5% em cada cauda, e esse valor é diferente de 1,7 (na verdade, $t_{29;0,025} \approx 2,045$ ). Portanto, usar 1,7 como multiplicador no intervalo estaria errado para um nível de confiança de 90% bilateral.

Além disso, mesmo que usássemos o quantil correto, o intervalo seria $38 \pm 1,7 \times 5 = 38 \pm 8,5$ , ou seja, [29,5; 46,5], e não 38 ± 1,7. O erro padrão da média é $\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{750}}{\sqrt{30}} = \frac{27,386}{5,477} = 5$ , então a margem de erro seria $1,7 \times 5 = 8,5$ , não 1,7. A afirmação do enunciado confunde o quantil com a margem de erro, ignorando o erro padrão.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta confundir o candidato ao fornecer o quantil unilateral $t_{29;0,05} = 1,7$ e sugerir que ele pode ser usado diretamente como margem de erro em um intervalo de 90% de confiança. O erro está em dois pontos: (1) o quantil para intervalo bilateral de 90% seria $t_{29;0,025}$ , não $t_{29;0,05}$ ; (2) a margem de erro é o produto do quantil pelo erro padrão, que aqui é 5, resultando em 8,5, não 1,7. Fique atento: o quantil fornecido em questões de teste de hipótese unilateral não serve diretamente para construir intervalos de confiança bilaterais.

Gabarito: letra E (ERRADO).

Questão de Estatística — Inferência estatística — CESPE / CEBRASPE 2023

Intervalo de confiança para a média com variância desconhecida