Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — CESPE / CEBRASPE 2023

Independência de eventos e interseção nula

Gabarito: letra E (ERRADO). A afirmação de que A e B são independentes é falsa porque, para independência, exige-se $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$; como $P(A \cap B) = 0$ e $P(A) \cdot P(B) = 0{,}5 \times 0{,}3 = 0{,}15$, a condição não é satisfeita. A interseção nula indica que os eventos são mutuamente exclusivos, o que, com probabilidades positivas, implica dependência.

A independência entre dois eventos é definida pela igualdade entre a probabilidade da interseção e o produto das probabilidades individuais. Quando $P(A \cap B) = 0$ e ambas as probabilidades são positivas, os eventos não podem ser independentes: se A ocorre, B certamente não ocorre, e vice-versa — o conhecimento de um altera completamente a probabilidade do outro. Esse é o ponto central que a banca explora: confundir mutuamente exclusivos (interseção vazia) com independentes (interseção igual ao produto).

A definição formal de independência é:

Definição (independência de dois eventos):

Dois eventos A e B são independentes se $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

No caso, $P(A \cap B) = 0$, enquanto $P(A) \cdot P(B) = 0{,}5 \times 0{,}3 = 0{,}15$. Como $0 \neq 0{,}15$, a condição falha. Portanto, A e B são dependentes.

Alternativa E — ❌ Incorreta (gabarito)

A afirmativa "Os eventos A e B são independentes" está errada. Para serem independentes, deveríamos ter $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0{,}5 \times 0{,}3 = 0{,}15$. Como o enunciado fornece $P(A \cap B) = 0$, a igualdade não se verifica. Logo, A e B são dependentes — na verdade, mutuamente exclusivos, pois não podem ocorrer simultaneamente.

Gabarito: letra E (ERRADO).