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Questão de Estatística — Amostragem — CESPE / CEBRASPE 2023

EstatísticaAmostragem
Código
ce153882
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
DATAPREV
Ano
2023
Nível
Médio
Cargo
Analista de Tecnologia da Informação - Perfil: Inteligência da informação
Uma amostra aleatória simples de tamanho n = 4, denotada por X₁, X₂ , X₃, X₄, foi retirada de uma população cuja função de distribuição de probabilidade é representada pela expressão P (X = x) = πx(1 − π)¹-x , na qual x pode assumir os valores 0 ou 1 e π é o parâmetro desconhecido que denota uma probabilidade.A partir das informações anteriores, e considerando a estimação do parâmetro π e o teste da hipótese nula H₀: π = 0,5 contra a hipótese alternativa H₁: π ≠ 0,5, bem como sabendo que os valores observados na amostra foram 0,0,0,1, julgue o item a seguir. Mantendo-se os mesmos valores 0,0,0,1 observados na amostra, o intervalo simétrico de 95% de confiança para π deve apresentar amplitude superior àquela proporcionada pelo intervalo simétrico de 99% de confiança para esse mesmo parâmetro.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Intervalo de confiança para proporção e nível de confiança

Gabarito: letra E (ERRADO). Mantidos os mesmos dados amostrais, o intervalo de 95% de confiança tem amplitude menor que o de 99%, pois o nível de confiança maior exige um valor crítico maior (z ou t), alargando o intervalo. A afirmação inverte essa relação.

A questão trata de estimação intervalar do parâmetro π de uma distribuição de Bernoulli (população com valores 0 ou 1). Com a amostra 0,0,0,1, a proporção amostral é p^=1/4=0,25\hat{p} = 1/4 = 0{,}25. O intervalo de confiança para a proporção tem a forma:

p^±zα/2p^(1−p^)n\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

A amplitude do intervalo é o dobro da margem de erro: 2×zα/2p^(1−p^)n2 \times z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}. O valor crítico zα/2z_{\alpha/2} cresce com o nível de confiança: para 95%, z≈1,96z \approx 1{,}96; para 99%, z≈2,58z \approx 2{,}58. Como o restante da expressão não muda (mesma amostra, mesmo n), o intervalo de 99% é mais largo que o de 95%. Portanto, a afirmativa de que o intervalo de 95% teria amplitude superior está errada.

A pegadinha clássica é inverter a relação: quanto maior a confiança, maior a amplitude (e menor a precisão). O candidato que pensa "mais confiança = intervalo mais estreito" cai no erro.

Nível de Confiança

Valor Crítico (z)

Amplitude do Intervalo

Relação entre Amplitudes

95%

1,96

Menor

95% < 99%

99%

2,58

Maior

99% > 95%

Alternativa E — ❌ Errada ⟵ GABARITO

A afirmativa diz que o intervalo de 95% tem amplitude superior à do intervalo de 99%. Isso é falso. A amplitude do intervalo de confiança para a proporção é dada por:

Amplitude=2×zα/2p^(1−p^)n\text{Amplitude} = 2 \times z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

Como p^\hat{p} e nn são fixos (mesma amostra), a amplitude é proporcional ao valor crítico zα/2z_{\alpha/2}. Para 95% de confiança, z≈1,96z \approx 1{,}96; para 99%, z≈2,58z \approx 2{,}58. Logo, o intervalo de 99% é mais largo. A banca inverteu a relação: quem pensa que "mais confiança = mais precisão" erra. Na verdade, maior confiança exige um intervalo mais amplo para garantir a cobertura do parâmetro.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a intuição de que "mais confiança" deveria dar um intervalo mais "apertado". Mas é o oposto: para ter mais certeza de capturar o parâmetro, o intervalo precisa ser mais largo. Lembre-se: confiança maior → valor crítico maior → amplitude maior.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de intervalo de confiança, fixe a fórmula da amplitude e veja quais termos variam. Se a amostra não muda, a amplitude só depende do valor crítico. Decore os valores críticos mais comuns: 90% → 1,645; 95% → 1,96; 99% → 2,576. Isso resolve a maioria das questões de comparação.

Gabarito: letra E — a afirmativa está errada.

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