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Questão de Estatística — Amostragem — CESPE / CEBRASPE 2023

EstatísticaAmostragem
Código
ce153883
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
DATAPREV
Ano
2023
Nível
Médio
Cargo
Analista de Tecnologia da Informação - Perfil: Inteligência da informação
Uma amostra aleatória simples de tamanho n = 4, denotada por X₁, X₂ , X₃, X₄, foi retirada de uma população cuja função de distribuição de probabilidade é representada pela expressão P (X = x) = πx(1 − π)¹-x , na qual x pode assumir os valores 0 ou 1 e π é o parâmetro desconhecido que denota uma probabilidade.A partir das informações anteriores, e considerando a estimação do parâmetro π e o teste da hipótese nula H₀: π = 0,5 contra a hipótese alternativa H₁: π ≠ 0,5, bem como sabendo que os valores observados na amostra foram 0,0,0,1, julgue o item a seguir.Sob a hipótese nula, a variância populacional é igual a 0,25.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoC — Certo

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Variância de uma variável aleatória de Bernoulli

✅ CERTO. Sob a hipótese nula H0:π=0,5H_0: \pi = 0,5, a variância populacional é π(1−π)=0,5×0,5=0,25\pi(1-\pi) = 0,5 \times 0,5 = 0,25. A distribuição dada é uma Bernoulli com parâmetro π\pi, e a variância de uma Bernoulli é π(1−π)\pi(1-\pi) — substituindo π=0,5\pi = 0,5, obtém-se exatamente 0,250,25.

A questão apresenta uma variável aleatória XX que assume valores 0 ou 1 com probabilidades P(X=1)=πP(X=1) = \pi e P(X=0)=1−πP(X=0) = 1-\pi. Essa é a definição da distribuição de Bernoulli, com parâmetro π\pi (probabilidade de sucesso). Para essa distribuição, a média é E[X]=πE[X] = \pi e a variância é Var(X)=π(1−π)Var(X) = \pi(1-\pi). O enunciado pede a variância sob a hipótese nula, ou seja, quando π=0,5\pi = 0,5. Substituindo:

Var(X)=0,5×(1−0,5)=0,5×0,5=0,25Var(X) = 0,5 \times (1 - 0,5) = 0,5 \times 0,5 = 0,25

Portanto, a afirmação está correta. A amostra observada (0,0,0,1) não interfere nesse cálculo, pois a variância populacional é uma propriedade da distribuição, não da amostra.

PEGA ESSA DICA!

Para variáveis de Bernoulli, decore as duas fórmulas: E[X]=πE[X] = \pi e Var(X)=π(1−π)Var(X) = \pi(1-\pi). Na prova, quando o enunciado der a função de probabilidade P(X=x)=πx(1−π)1−xP(X=x) = \pi^x(1-\pi)^{1-x}, reconheça imediatamente a Bernoulli e aplique as fórmulas diretamente. O valor da amostra só seria usado para estimar π\pi (por exemplo, π^=1/4\hat{\pi} = 1/4), mas a questão pede a variância populacional sob H0H_0, que é um valor fixo.

Gabarito: letra C (CERTO).

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