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Questão de Estatística — Amostragem — CESPE / CEBRASPE 2023

EstatísticaAmostragem
Código
ce153884
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
DATAPREV
Ano
2023
Nível
Médio
Cargo
Analista de Tecnologia da Informação - Perfil: Inteligência da informação
Uma amostra aleatória simples de tamanho n = 4, denotada por X₁, X₂ , X₃, X₄, foi retirada de uma população cuja função de distribuição de probabilidade é representada pela expressão P (X = x) = πx(1 − π)¹-x , na qual x pode assumir os valores 0 ou 1 e π é o parâmetro desconhecido que denota uma probabilidade.A partir das informações anteriores, e considerando a estimação do parâmetro π e o teste da hipótese nula H₀: π = 0,5 contra a hipótese alternativa H₁: π ≠ 0,5, bem como sabendo que os valores observados na amostra foram 0,0,0,1, julgue o item a seguir.A estimativa de máxima verossimilhança da probabilidade π é igual a 0,75.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Estimativa de máxima verossimilhança para a proporção (Bernoulli)

Gabarito: letra E (ERRADO). A estimativa de máxima verossimilhança de π é 0,25, e não 0,75. Para uma amostra de Bernoulli com valores 0,0,0,1, o estimador de máxima verossimilhança é a proporção amostral de sucessos: π^MV=∑Xin=14=0,25\hat{\pi}_{MV} = \frac{\sum X_i}{n} = \frac{1}{4} = 0{,}25. O valor 0,75 corresponderia a três sucessos em quatro observações, o que inverte a contagem dos dados observados.

A função de probabilidade dada, P(X=x)=πx(1−π)1−xP(X=x) = \pi^x (1-\pi)^{1-x} para x∈{0,1}x \in \{0,1\}, é exatamente a distribuição de Bernoulli com parâmetro π. Nela, X=1X=1 representa "sucesso" (probabilidade π) e X=0X=0 representa "fracasso" (probabilidade 1−π1-\pi). A amostra observada foi 0, 0, 0, 1 — ou seja, apenas um sucesso em quatro observações.

A função de verossimilhança é o produto das probabilidades de cada observação:

L(π)=∏i=14πxi(1−π)1−xi=π∑xi(1−π)4−∑xi=π1(1−π)3.L(\pi) = \prod_{i=1}^{4} \pi^{x_i}(1-\pi)^{1-x_i} = \pi^{\sum x_i}(1-\pi)^{4-\sum x_i} = \pi^{1}(1-\pi)^{3}.

Maximizar L(π)L(\pi) (ou seu logaritmo) em relação a π leva ao estimador de máxima verossimilhança:

π^MV=∑i=14xin=14=0,25.\hat{\pi}_{MV} = \frac{\sum_{i=1}^{4} x_i}{n} = \frac{1}{4} = 0{,}25.

Esse é um resultado clássico: para a distribuição de Bernoulli, o EMV de π é a proporção amostral de sucessos. Como a amostra tem um único 1, a estimativa é 0,25.

A banca explora a confusão entre a contagem de sucessos e a de fracassos: o candidato que conta três zeros como "sucessos" (ou inverte o papel de 0 e 1) chega a 0,75. Mas a definição da função de probabilidade deixa claro que X=1X=1 é o sucesso — e há apenas um na amostra.

NÃO CAIA NESSA!

A banca troca a contagem de sucessos pela de fracassos. Na Bernoulli, P(X=1)=πP(X=1)=\pi e P(X=0)=1−πP(X=0)=1-\pi. A amostra 0,0,0,1 tem um sucesso (o valor 1), não três. Quem conta os zeros como sucessos encontra 0,75 — exatamente o distrator. Lembre-se: o EMV de π é sempre a proporção de uns na amostra, nunca a de zeros.

Sucessos (X=1)Fracassos (X=0)130LEVELsoulevel.com.br
Estimativa de máxima verossimilhança — só Sucessos (X=1): 1; só Fracassos (X=0): 3; Sucessos (X=1)∩Fracassos (X=0): 0

Alternativa E — ❌ Errada ⟵ GABARITO

A afirmativa está errada. O cálculo correto é:

π^MV=nuˊmero de sucessosn=14=0,25.\hat{\pi}_{MV} = \frac{\text{número de sucessos}}{n} = \frac{1}{4} = 0{,}25.

O valor 0,75 seria a estimativa se a amostra fosse 1,1,1,0 (três sucessos), o que não é o caso. Portanto, a estimativa de máxima verossimilhança é 0,25, e não 0,75.

Gabarito: letra E (ERRADO).

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