Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2023 | Questão sqc-ce153893

Álgebra Linear: Autovalores de uma matriz

Gabarito: ✅ CERTO. Os autovalores de uma matriz quadrada $A$ são as raízes da equação característica $\det(A - \lambda I) = 0$ . Para a matriz $A = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$ , a equação resulta em $\lambda^2 - 4 = 0$ , cujas raízes são $\lambda = 2$ e $\lambda = -2$ .

Para encontrar os autovalores, montamos a matriz $(A - \lambda I)$ :

A - \lambda I = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\lambda & 2 \\ 2 & -\lambda \end{bmatrix}

O determinante dessa matriz é:

\det(A - \lambda I) = (-\lambda)(-\lambda) - (2)(2) = \lambda^2 - 4

Igualando a zero para encontrar os autovalores:

\lambda^2 - 4 = 0 \implies \lambda^2 = 4 \implies \lambda = \pm 2

Portanto, os autovalores são de fato $2$ e $-2$ . Como a banca pediu o julgamento da afirmação, ela está correta.

1Montar A - λI
2Calcular determinante
3Igualar a zero
4Resolver λ² - bc = 0
5λ = ±√(bc)

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PEGA ESSA DICA!

Para matrizes $2 \times 2$ da forma $\begin{bmatrix} 0 & b \\ c & 0 \end{bmatrix}$ , o polinômio característico é sempre $\lambda^2 - bc = 0$ , resultando em autovalores $\pm \sqrt{bc}$ . Neste caso, $b=2$ e $c=2$ , logo $\pm \sqrt{4} = \pm 2$ .

Gabarito: ✅ CERTO.

Questão de Matemática — Álgebra Linear — CESPE / CEBRASPE 2023

Álgebra Linear: Autovalores de uma matriz