Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2023 | Questão sqc-ce153894

Matriz inversa: verificação de cálculo

Gabarito: ❌ ERRADO. A matriz inversa de $A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ é a própria matriz $A$ , pois o produto $A \cdot A$ resulta na matriz identidade $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , e não na matriz apresentada na imagem.

Para verificar se uma matriz $B$ é a inversa de $A$ , devemos conferir se $A \cdot B = I$ . Realizando a multiplicação da matriz $A$ pela matriz proposta na imagem ( $B = \begin{pmatrix} 0,5 & 0 \\ 0 & 0,5 \end{pmatrix}$ ):

A \cdot B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0,5 & 0 \\ 0 & 0,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0 \cdot 0,5 + 2 \cdot 0) & (0 \cdot 0 + 2 \cdot 0,5) \\ (2 \cdot 0,5 + 0 \cdot 0) & (2 \cdot 0 + 0 \cdot 0,5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

Como o resultado é $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ e não a matriz identidade $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , a afirmação está incorreta. A matriz inversa correta, neste caso, é a própria matriz $A$ , uma vez que:

A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0+4) & (0+0) \\ (0+0) & (4+0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \neq I_2

SE LIGUE NESSA!

O determinante de $A$ é $\det(A) = (0 \cdot 0) - (2 \cdot 2) = -4$ . Como $\det(A) \neq 0$ , a matriz é inversível. A fórmula para a inversa de uma matriz $2 \times 2$ é $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ . Aplicando os valores de $A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ , temos $A^{-1} = \frac{1}{-4} \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0,5 \\ 0,5 & 0 \end{pmatrix}$ .

1Matriz A dada
2Multiplicar A × B proposta
3Resultado ≠ I₂
4[-] Afirmação errada

LEVEL · soulevel.com.br

Gabarito: Errado.

Questão de Matemática — Álgebra Linear — CESPE / CEBRASPE 2023

Matriz inversa: verificação de cálculo