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Questão de Matemática — Limite — CESPE / CEBRASPE 2023

MatemáticaLimite
Código
ce153895
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
DATAPREV
Ano
2023
Nível
Médio
Cargo
Analista de Tecnologia da Informação - Perfil: Inteligência da informação

Com respeito à função



Imagem associada para resolução da questão



na qual ai ∈ ℝ e x ∈ ℝ, julgue o próximo item.



Definindo-se os vetores Imagem associada para resolução da questão  ambos de dimensões n × 1, a função S (x) pode ser escrita na forma de um produto vetorial como Imagem associada para resolução da questão


  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Álgebra Linear: Produto Escalar e Vetores

Gabarito: ❌ ERRADO. A afirmação está incorreta porque a expressão apresentada utiliza o símbolo de produto vetorial (×\times), que em Rn\mathbb{R}^n não é definido da mesma forma que em R3\mathbb{R}^3 e não resulta em um escalar, enquanto a função S(x)S(x) é, por definição, uma soma de quadrados, logo, um escalar. A forma correta de representar a soma dos quadrados das diferenças como um produto entre vetores é através do produto escalar (geralmente denotado por ⋅\cdot ou ⟨⋅,⋅⟩\langle \cdot, \cdot \rangle), ou seja, S(x)=(a⃗−u⃗x)⋅(a⃗−u⃗x)=∥a⃗−u⃗x∥2S(x) = (\vec{a} - \vec{u}_x) \cdot (\vec{a} - \vec{u}_x) = \|\vec{a} - \vec{u}_x\|^2.

Análise da estrutura vetorial

Dado o vetor a⃗=(a1,a2,…,an)T\vec{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)^T e o vetor u⃗x=(x,x,…,x)T\vec{u}_x = (x, x, \dots, x)^T, a diferença entre eles é um vetor cujas componentes são (ai−x)(a_i - x). O produto escalar de um vetor por si mesmo é a soma dos quadrados de suas componentes:

v⃗⋅v⃗=∑i=1nvi2\vec{v} \cdot \vec{v} = \sum_{i=1}^n v_i^2

Substituindo v⃗=a⃗−u⃗x\vec{v} = \vec{a} - \vec{u}_x, temos:

(a⃗−u⃗x)⋅(a⃗−u⃗x)=∑i=1n(ai−x)2=S(x)(\vec{a} - \vec{u}_x) \cdot (\vec{a} - \vec{u}_x) = \sum_{i=1}^n (a_i - x)^2 = S(x)

A banca induz ao erro ao utilizar o símbolo de produto vetorial (×\times), que é uma operação distinta e incompatível com a obtenção de um escalar a partir de vetores em dimensões arbitrárias nn. O produto escalar é a ferramenta correta para representar a norma ao quadrado de um vetor.

Representação de S(x) = Σ(aᵢ - x)²
  • 1Produto vetorial (×)
    • Símbolo usado pela banca
    • Só definido em ℝ³
    • Resulta em vetor, não escalar
  • 2Produto escalar (·)
    • Forma correta
    • Definido em ℝⁿ
    • Resulta em escalar (norma²)
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NÃO CAIA NESSA!

A banca utiliza a notação de produto vetorial (×\times) para confundir o candidato com o produto escalar (⋅\cdot). Em álgebra linear, o produto escalar de um vetor por si mesmo resulta na norma ao quadrado, enquanto o produto vetorial é uma operação específica de R3\mathbb{R}^3 que resulta em um novo vetor ortogonal aos originais.

Gabarito: ❌ ERRADO.

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