Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2023 | Questão sqc-ce153896

Otimização: valor mínimo da função quadrática

Gabarito: ✅ CERTO. O valor mínimo global da função $S(x) = \sum_{i=1}^{n} (a_i - x)^2$ ocorre exatamente na média aritmética dos valores $a_i$ , ou seja, em $x = b = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_i$ .

Para encontrar o ponto de mínimo de uma função diferenciável, calculamos sua derivada em relação à variável $x$ e igualamos a zero. A função dada é uma soma de quadrados:

S(x) = \sum_{i=1}^{n} (a_i - x)^2

Derivando $S(x)$ em relação a $x$ pela regra da cadeia:

S'(x) = \sum_{i=1}^{n} 2(a_i - x) \cdot (-1) = -2 \sum_{i=1}^{n} (a_i - x)

Igualando a derivada a zero para encontrar o ponto crítico:

-2 \sum_{i=1}^{n} (a_i - x) = 0 \implies \sum_{i=1}^{n} a_i - \sum_{i=1}^{n} x = 0

Como $\sum_{i=1}^{n} x = n \cdot x$ , temos:

\sum_{i=1}^{n} a_i - nx = 0 \implies nx = \sum_{i=1}^{n} a_i \implies x = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_i

Este valor é, por definição, a média aritmética dos elementos $a_i$ , representada no enunciado pela variável $b$ . Como a segunda derivada $S''(x) = 2n$ é positiva para $n > 0$ , o ponto encontrado é um mínimo global.

PEGA ESSA DICA!

Este resultado é a base teórica do método dos mínimos quadrados, onde buscamos o valor que minimiza a soma dos desvios quadráticos em relação a um conjunto de dados. Lembre-se: a média aritmética é sempre o valor que minimiza a soma dos quadrados das distâncias.

Questão de Matemática — Limite — CESPE / CEBRASPE 2023

Otimização: valor mínimo da função quadrática