Questão de Matemática — Limite — CESPE / CEBRASPE 2023

Análise da concavidade da função $g(x) = x e^{-x}$

Gabarito: ❌ ERRADO. A segunda derivada da função $g(x) = x e^{-x}$ não é negativa para todo $x \in \mathbb{R}$, pois a concavidade da função muda de sinal no ponto de inflexão $x = 2$.

Para verificar a afirmação, devemos calcular a primeira e a segunda derivada da função dada:

1. Primeira derivada $g'(x)$: Utilizando a regra do produto $(u \cdot v)' = u'v + uv'$, onde $u = x$ e $v = e^{-x}$:

   $g'(x) = (1)(e^{-x}) + (x)(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)$

1. Segunda derivada $g''(x)$: Derivando novamente o resultado anterior:

   $g''(x) = (-e^{-x})(1 - x) + (e^{-x})(-1)$

   $g''(x) = e^{-x}(-1 + x - 1) = e^{-x}(x - 2)$

Analisando o sinal de $g''(x)$:

• Como $e^{-x}$ é sempre positivo para qualquer $x \in \mathbb{R}$, o sinal de $g''(x)$ depende exclusivamente do termo $(x - 2)$.

• Se $x < 2$, então $g''(x) < 0$ (concavidade voltada para baixo).

• Se $x > 2$, então $g''(x) > 0$ (concavidade voltada para cima).

Como a segunda derivada assume valores positivos para $x > 2$, a afirmação de que ela é menor que zero para todo $x \in \mathbb{R}$ é falsa.

Gabarito: ❌ ERRADO.