Questão de Matemática — Limite — CESPE / CEBRASPE 2023

Cálculo diferencial: derivada e valor da função

Gabarito: ✅ CERTO. A igualdade proposta é verdadeira, pois, ao calcular a derivada da função $g(x) = x e^{-x}$ e avaliar em $x=0$, obtemos $1$, enquanto o valor da função em $x=0$ somado a $1$ também resulta em $1$.

Para resolver, aplicamos a regra do produto para derivar $g(x) = x e^{-x}$:

1. Derivada de $g(x)$:

   $g'(x) = (x)' \cdot e^{-x} + x \cdot (e^{-x})'$

   $g'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x})$

   $g'(x) = e^{-x} - x e^{-x}$

1. Avaliando a derivada em $x=0$:

   $g'(0) = e^{0} - 0 \cdot e^{0} = 1 - 0 = 1$

1. Calculando o lado direito da igualdade:

   $g(0) = 0 \cdot e^{0} = 0$

   $g(0) + 1 = 0 + 1 = 1$

Como $g'(0) = 1$ e $g(0) + 1 = 1$, a igualdade $g'(0) = g(0) + 1$ é confirmada.