Questão de Matemática — Limite — CESPE / CEBRASPE 2023

Limites no infinito: função $g(x) = x e^{-x}$

✅ CERTO. O limite de $g(x) = x e^{-x}$ quando $x \to +\infty$ é de fato 0. Isso ocorre porque a exponencial $e^{-x}$ decresce para zero muito mais rápido do que $x$ cresce para infinito — o produto tende a zero. Esse é um resultado clássico de limites no infinito, que pode ser demonstrado pela regra de L'Hôpital ou pela comparação de crescimento das funções.

A função $g(x) = x e^{-x}$ pode ser reescrita como $g(x) = \dfrac{x}{e^x}$. Quando $x$ tende a $+\infty$, tanto o numerador quanto o denominador tendem a $+\infty$, gerando uma indeterminação do tipo $\infty/\infty$. Para resolver, aplicamos a regra de L'Hôpital, que permite derivar numerador e denominador separadamente:

Outra forma de enxergar é lembrar que a função exponencial cresce mais rápido do que qualquer polinômio. Assim, $e^x$ domina $x$, e o quociente tende a zero. Esse é um resultado fundamental que aparece em diversas questões de cálculo.

A pegadinha aqui é sutil: muitos candidatos, ao verem $x \cdot e^{-x}$, pensam que o produto de um termo que cresce ($x$) por um que decresce ($e^{-x}$) poderia tender a algo diferente de zero, ou até mesmo a infinito. Mas a exponencial decai tão rapidamente que "vence" o crescimento linear de $x$. O gráfico da função confirma: ele sobe até um máximo e depois cai assintoticamente para zero.

Alternativa C — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. Como demonstrado, $\lim_{x \to +\infty} x e^{-x} = 0$. A justificativa pode ser dada pela regra de L'Hôpital ou pelo fato de a exponencial dominar o crescimento linear.

Alternativa E — ❌ ERRADO

A afirmação de que o limite não é zero está incorreta. O limite é exatamente zero, conforme a análise acima. Não há nenhum valor diferente de zero para o qual a função se aproxime quando $x$ cresce indefinidamente.

Gabarito: letra C — o item está CERTO.