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Questão de Matemática — Limite — CESPE / CEBRASPE 2023

MatemáticaLimite
Código
ce153900
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
DATAPREV
Ano
2023
Nível
Médio
Cargo
Analista de Tecnologia da Informação - Perfil: Inteligência da informação
Considerando a função real na forma g (x) = x e-x, na qual x ∈ ℝ, julgue o item subsequente.Para x > 0, é correto afirmar que g (In x) = In x - x.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Função exponencial e logaritmos: composição g(ln x)

Gabarito: ❌ ERRADO. Para x>0x > 0, g(ln⁡x)=ln⁡x⋅e−ln⁡x=ln⁡x⋅1x=ln⁡xxg(\ln x) = \ln x \cdot e^{-\ln x} = \ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{\ln x}{x}, e não ln⁡x−x\ln x - x. O erro está em aplicar a propriedade e−ln⁡x=1xe^{-\ln x} = \frac{1}{x} (que é correta) e depois confundir a multiplicação com uma subtração — a banca trocou a operação.

A questão cobra a composição de funções com a exponencial e o logaritmo natural. Dada g(x)=xe−xg(x) = x e^{-x}, para calcular g(ln⁡x)g(\ln x) basta substituir xx por ln⁡x\ln x em toda a expressão. O ponto central é lembrar que eln⁡a=ae^{\ln a} = a para a>0a > 0, e portanto e−ln⁡x=1eln⁡x=1xe^{-\ln x} = \frac{1}{e^{\ln x}} = \frac{1}{x}. Assim:

g(ln⁡x)=ln⁡x⋅e−ln⁡x=ln⁡x⋅1x=ln⁡xxg(\ln x) = \ln x \cdot e^{-\ln x} = \ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{\ln x}{x}

A afirmação do enunciado, g(ln⁡x)=ln⁡x−xg(\ln x) = \ln x - x, está incorreta porque troca o produto ln⁡x⋅1x\ln x \cdot \frac{1}{x} por uma diferença ln⁡x−x\ln x - x. Não há nenhuma propriedade que transforme ln⁡x⋅e−ln⁡x\ln x \cdot e^{-\ln x} em ln⁡x−x\ln x - x; a confusão provavelmente vem de pensar que e−ln⁡xe^{-\ln x} seria algo como "−x-x", o que não é verdade.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre as operações de multiplicação e subtração. O candidato que lembra que e−ln⁡x=1xe^{-\ln x} = \frac{1}{x} pode, por descuido, escrever ln⁡x−x\ln x - x em vez de ln⁡x⋅1x\ln x \cdot \frac{1}{x}. Fique atento: a expressão correta é sempre um produto (ou quociente), nunca uma subtração.

Caso

Expressão avaliada

Resultado

Cálculo correto

(g(ln⁡x)=ln⁡x⋅e−ln⁡x=ln⁡x⋅1x=ln⁡xx)(g(\ln x) = \ln x \cdot e^{-\ln x} = \ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{\ln x}{x})

(ln⁡xx)(\frac{\ln x}{x})

Afirmação do enunciado

(g(ln⁡x)=ln⁡x−x)(g(\ln x) = \ln x - x)

Incorreto (troca produto por subtração)

Comparação

(ln⁡xx≠ln⁡x−x)(\frac{\ln x}{x} \neq \ln x - x)

Falso

Alternativa E — ❌ Errado (gabarito)

A afirmação está errada. O cálculo correto é:

g(ln⁡x)=ln⁡x⋅e−ln⁡x=ln⁡x⋅1x=ln⁡xxg(\ln x) = \ln x \cdot e^{-\ln x} = \ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{\ln x}{x}

Portanto, g(ln⁡x)≠ln⁡x−xg(\ln x) \neq \ln x - x. A alternativa E é a resposta correta, pois o item é falso.

Gabarito: letra E (ERRADO).

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