Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Limite — CESPE / CEBRASPE 2023

MatemáticaLimite
Código
ce153901
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
DATAPREV
Ano
2023
Nível
Médio
Cargo
Analista de Tecnologia da Informação - Perfil: Inteligência da informação
Considerando a função real na forma g (x) = x e-x, na qual x ∈ ℝ, julgue o item subsequente.Imagem associada para resolução da questão
  1. CCerto
  2. EErrado
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Cálculo: Integral Imprópria

Gabarito: ❌ ERRADO. A integral imprópria da função g(x)=xe−xg(x) = x e^{-x} no intervalo [0,+∞)[0, +\infty) resulta em 11, valor que é estritamente menor que 22.

Para resolver a integral ∫0+∞xe−xdx\int_{0}^{+\infty} x e^{-x} dx, utilizamos o método de integração por partes, definido pela fórmula ∫udv=uv−∫vdu\int u dv = uv - \int v du. Escolhendo u=xu = x (logo, du=dxdu = dx) e dv=e−xdxdv = e^{-x} dx (logo, v=−e−xv = -e^{-x}), temos:

∫xe−xdx=−xe−x−∫(−e−x)dx=−xe−x−e−x=−e−x(x+1)\int x e^{-x} dx = -x e^{-x} - \int (-e^{-x}) dx = -x e^{-x} - e^{-x} = -e^{-x}(x + 1)

Avaliando o limite da integral imprópria:

∫0+∞xe−xdx=lim⁡b→+∞[−e−x(x+1)]0b\int_{0}^{+\infty} x e^{-x} dx = \lim_{b \to +\infty} \left[ -e^{-x}(x + 1) \right]_{0}^{b}

Substituindo os limites de integração:

lim⁡b→+∞(−e−b(b+1)−(−e0(0+1)))=lim⁡b→+∞(−b+1eb+1)\lim_{b \to +\infty} \left( -e^{-b}(b + 1) - (-e^{0}(0 + 1)) \right) = \lim_{b \to +\infty} \left( -\frac{b+1}{e^b} + 1 \right)

Como o crescimento exponencial supera o crescimento linear (lim⁡b→+∞b+1eb=0\lim_{b \to +\infty} \frac{b+1}{e^b} = 0), o resultado final é 0+1=10 + 1 = 1. Como 1≯21 \ngtr 2, a afirmação está incorreta.

PEGA ESSA DICA!

Ao encontrar integrais do tipo ∫xne−axdx\int x^n e^{-ax} dx em intervalos infinitos, lembre-se que o resultado sempre convergirá para um valor finito, pois a função exponencial decresce muito mais rapidamente do que qualquer potência de xx cresce.

Gabarito: ❌ ERRADO.

Link permanente: /questoes/ce153901