Uma turma da universidade possui 99 estudantes, numerados de 1 a 99. Todos os estudantes que possuem algum algarismo ímpar em sua numeração estavam presentes em um dado dia, e os demais faltaram. Nessa situação, o número de estudantes que estavam presentes naquele dia é igual a
A49.
B50.
C75.
D79.
E96.
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GabaritoC — 75.
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Problemas com Algarismos: Contagem de Números com Algarismo Ímpar
Gabarito: letra C (75). O número de estudantes presentes é a quantidade de números de 1 a 99 que possuem pelo menos um algarismo ímpar em sua representação decimal. A forma mais direta é calcular o total de números (99) e subtrair aqueles que não possuem nenhum algarismo ímpar, ou seja, os que são formados apenas por algarismos pares (0, 2, 4, 6, 8).
A questão exige uma contagem cuidadosa, pois a pegadinha está em considerar apenas os números de 1 a 9 (onde há 5 ímpares) e esquecer que a análise deve ser feita para números de dois algarismos também. Vamos ao desenvolvimento completo.
O conjunto de estudantes é {1, 2, 3, ..., 99}. Queremos contar quantos desses números têm pelo menos um algarismo ímpar (1, 3, 5, 7, 9). Em vez de contar diretamente os casos favoráveis (que são muitos), é mais eficiente contar o complemento: os números que não têm nenhum algarismo ímpar, ou seja, que são formados apenas por algarismos pares.
Os algarismos pares são: 0, 2, 4, 6, 8. Vamos analisar por faixa:
Números de 1 a 9 (um algarismo): Os que têm apenas algarismo par são: 2, 4, 6, 8. O número 0 não está no conjunto (a numeração começa em 1). Portanto, há 4 números sem algarismo ímpar.
Números de 10 a 99 (dois algarismos): Para que um número de dois algarismos não tenha nenhum algarismo ímpar, tanto a dezena quanto a unidade devem ser pares.
A dezena não pode ser 0 (senão o número teria apenas um algarismo), então as opções para a dezena são: 2, 4, 6, 8 → 4 opções.
A unidade pode ser qualquer algarismo par, incluindo 0: 0, 2, 4, 6, 8 → 5 opções.
Total de números de dois algarismos sem algarismo ímpar: 4 × 5 = 20.
Somando as duas faixas, temos 4 + 20 = 24 números sem nenhum algarismo ímpar. Portanto, o número de estudantes presentes (com pelo menos um algarismo ímpar) é:
Estudantes com algarismo ímpar — só Presentes: 75; só Ausentes: 24; Presentes∩Ausentes: 0
Alternativa A — ❌ Incorreta
Afirma que o número de presentes é 49. Esse valor corresponderia a considerar apenas os números de 1 a 99 que são ímpares (1, 3, 5, ..., 99), ou seja, metade dos números. Mas a condição é ter algum algarismo ímpar, não ser um número ímpar. Por exemplo, o número 21 tem o algarismo 2 (par) e o algarismo 1 (ímpar) — ele está presente, mas não é um número ímpar. A pegadinha está em confundir "número ímpar" com "número que contém algarismo ímpar".
Alternativa B — ❌ Incorreta
Afirma que o número de presentes é 50. Esse valor seria o resultado se considerássemos que metade dos números de 1 a 99 são ímpares (49) e somássemos 1, ou se pensássemos que apenas os números com unidade ímpar estão presentes. Mas a condição é mais ampla: números como 21, 23, 25, etc., têm algarismo ímpar na unidade, mas também números como 12, 14, 16 (que têm algarismo ímpar na dezena) estão presentes. A contagem correta é 75, não 50.
Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO
O número de estudantes presentes é 75. Como calculado, há 24 números de 1 a 99 que não possuem nenhum algarismo ímpar (apenas algarismos pares). Subtraindo do total de 99, obtemos 75. Essa é a resposta correta.
Alternativa D — ❌ Incorreta
Afirma que o número de presentes é 79. Esse valor seria o resultado se considerássemos que apenas os números que contêm o algarismo 9 (ou outro algarismo ímpar específico) estão presentes, mas a condição é ter qualquer algarismo ímpar. A contagem correta é 75, não 79.
Alternativa E — ❌ Incorreta
Afirma que o número de presentes é 96. Esse valor seria o resultado se considerássemos que quase todos os números têm algarismo ímpar, mas há 24 números que não têm (apenas algarismos pares). Portanto, 99 - 24 = 75, não 96.
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a confusão entre "número ímpar" e "número que contém algarismo ímpar". O candidato apressado conta apenas os números ímpares (49) e erra. Lembre-se: números como 21, 23, 25 têm algarismo ímpar, mas não são ímpares. A técnica do complemento (contar os que não têm algarismo ímpar) resolve rapidamente.
PEGA ESSA DICA!
Para problemas de contagem com "pelo menos um", use o complemento: total - o que não atende. Aqui, conte os números formados apenas por algarismos pares (0, 2, 4, 6, 8) e subtraia do total. Para números de 1 a 99, são 4 (1 algarismo) + 4×5 (2 algarismos) = 24. Portanto, 99 - 24 = 75.