Determinada cidade tem 1.000 residências que são
atendidas por diferentes fontes energéticas. Desse total,
650 residências são atendidas por energia elétrica de fonte
hidroelétrica, 450 são atendidas por energia de fonte solar,
250 são atendidas por energia de fonte eólica, 350 são atendidas
por energia de fontes solar e hidroelétrica, 150 são atendidas por
energia de fontes hidroelétrica e eólica e 50 são atendidas por
energia de fontes solar e eólica.
As informações da situação hipotética precedente são suficientes para se inferir quetodas as 1.000 residências da cidade são atendidas por energia elétrica originada de pelo menos uma das três fontes citadas.
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GabaritoE — Errado
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Conjuntos: união de três conjuntos com interseções
Gabarito: letra E (Errado). A afirmação de que todas as 1.000 residências são atendidas por pelo menos uma das três fontes é falsa, pois o princípio da inclusão-exclusão aplicado aos dados mostra que a união dos três conjuntos (hidroelétrica, solar e eólica) totaliza apenas 750 residências, deixando 250 residências sem nenhuma das fontes citadas. A questão exige calcular a união de três conjuntos a partir das interseções fornecidas, e não simplesmente somar os valores individuais.
O problema envolve a teoria de conjuntos, especificamente o cálculo da união de três conjuntos quando conhecemos as interseções entre eles. A fórmula do princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos A, B e C é:
Neste caso, não temos o valor da interseção tripla (residências atendidas pelas três fontes simultaneamente). No entanto, podemos calcular a união somando os elementos que pertencem a apenas um conjunto, apenas dois conjuntos e aos três conjuntos. Vamos organizar os dados:
Hidroelétrica (H): 650
Solar (S): 450
Eólica (E): 250
H e S: 350
H e E: 150
S e E: 50
Para encontrar o número de residências atendidas por pelo menos uma fonte, precisamos calcular a união. Uma forma é usar o diagrama de Venn e preencher as regiões. Vamos chamar de o número de residências atendidas pelas três fontes (H, S e E).
As regiões de interseção dupla exclusiva (apenas duas fontes) são:
Apenas H e S:
Apenas H e E:
Apenas S e E:
As regiões de apenas uma fonte:
Apenas H:
Apenas S:
Apenas E:
A união total é a soma de todas as regiões:
Simplificando:
Aqui, é a interseção tripla. Como não temos o valor de , precisamos verificar se a união pode ser 1.000. Para isso, deveria ser 200. Mas será que isso é possível? Vamos verificar as restrições: a interseção tripla não pode exceder nenhuma das interseções duplas, ou seja, (o menor valor entre 350, 150 e 50). Portanto, no máximo 50, o que daria uma união máxima de . Isso já mostra que a união não pode ser 1.000.
Na verdade, podemos calcular a união diretamente sem conhecer , usando a fórmula da inclusão-exclusão, mas precisamos do valor da interseção tripla. No entanto, há uma forma mais simples: somar as interseções duplas e subtrair as contagens repetidas. Vamos calcular a união somando os totais individuais e subtraindo as interseções duplas, mas isso conta a interseção tripla três vezes a mais. A fórmula correta é:
Substituindo:
Como é desconhecido, mas sabemos que , a união máxima é 850. Portanto, não pode ser 1.000. Logo, a afirmação está errada.
Outra forma de ver: se todas as 1.000 residências fossem atendidas por pelo menos uma fonte, a união seria 1.000. Mas a soma dos totais individuais é 650 + 450 + 250 = 1.350, e subtraindo as interseções duplas (350 + 150 + 50 = 550), temos 1.350 - 550 = 800, e somando a interseção tripla (no máximo 50), chegamos a no máximo 850. Portanto, há pelo menos 150 residências que não são atendidas por nenhuma das três fontes.
Fontes de energia elétrica — só Hidroelétrica: 150+x; só Solar: 50+x; só Eólica: 50+x; Hidroelétrica∩Solar: 350-x; Hidroelétrica∩Eólica: 150-x; Solar∩Eólica: 50-x; Hidroelétrica∩Solar∩Eólica: x
Alternativa C — ❌ Incorreta (afirmação falsa)
A alternativa C afirma que todas as 1.000 residências são atendidas por pelo menos uma das três fontes. Isso é falso, pois o cálculo da união dos três conjuntos resulta em, no máximo, 850 residências (considerando a interseção tripla máxima possível de 50). Portanto, há residências que não são atendidas por nenhuma das fontes citadas.
Alternativa E — ✅ Correta (afirmação falsa, gabarito)
A alternativa E afirma que a informação é errada, ou seja, que nem todas as 1.000 residências são atendidas por pelo menos uma das três fontes. Isso está correto, pois a união calculada é de no máximo 850, deixando pelo menos 150 residências sem nenhuma das fontes. Portanto, a afirmação do enunciado é falsa.
NÃO CAIA NESSA!
A banca tenta induzir o candidato a simplesmente somar os totais individuais (650 + 450 + 250 = 1.350) e concluir que há mais residências do que o total, ou a subtrair as interseções de forma incorreta. O erro comum é não considerar que as interseções duplas e triplas reduzem a união. Aqui, a pegadinha é que, mesmo sem o valor da interseção tripla, é possível determinar que a união não atinge 1.000, pois a interseção tripla máxima é limitada pela menor interseção dupla (50). Portanto, a união máxima é 850, e a afirmação é falsa.
PEGA ESSA DICA!
Para questões de conjuntos com três grupos, sempre use o princípio da inclusão-exclusão ou monte o diagrama de Venn. Lembre-se de que a interseção tripla não pode exceder nenhuma das interseções duplas. Se o problema não fornecer a interseção tripla, verifique se ela pode ser determinada ou se há um limite máximo que inviabilize a conclusão. Neste caso, o limite máximo de 50 já mostra que a união não chega a 1.000.