Determinada cidade tem 1.000 residências que são
atendidas por diferentes fontes energéticas. Desse total,
650 residências são atendidas por energia elétrica de fonte
hidroelétrica, 450 são atendidas por energia de fonte solar,
250 são atendidas por energia de fonte eólica, 350 são atendidas
por energia de fontes solar e hidroelétrica, 150 são atendidas por
energia de fontes hidroelétrica e eólica e 50 são atendidas por
energia de fontes solar e eólica.
As informações da situação hipotética precedente são suficientes para se inferir quemais de 50 residências são atendidas, simultaneamente, pelas fontes de energia elétrica eólica, solar e hidroelétrica.
CCerto
EErrado
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GabaritoE — Errado
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Conjuntos: interseção tripla e suficiência de dados
Gabarito: letra E (ERRADO). Os dados fornecidos não são suficientes para afirmar que mais de 50 residências são atendidas simultaneamente pelas três fontes — na verdade, é possível até que nenhuma residência receba as três fontes ao mesmo tempo. A questão testa se o candidato percebe que as informações sobre as interseções duplas (solar e hidroelétrica, hidroelétrica e eólica, solar e eólica) não determinam, por si só, o valor da interseção tripla (as três fontes simultaneamente).
O problema envolve a teoria de conjuntos e, mais especificamente, o princípio da inclusão-exclusão. Temos três conjuntos: H (hidroelétrica, com 650 elementos), S (solar, com 450) e E (eólica, com 250). As interseções duplas são: S∩H = 350, H∩E = 150 e S∩E = 50. O que a questão pergunta é sobre a interseção tripla H∩S∩E.
A fórmula do princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos é:
Substituindo os valores conhecidos:
Sabemos que o total de residências é 1000, então a união dos três conjuntos não pode exceder 1000. Isso nos dá uma restrição superior:
Mas essa é apenas uma restrição. Para saber se os dados são suficientes, precisamos verificar se há outras restrições que determinem um valor único ou um intervalo que garanta que a interseção tripla seja maior que 50.
Vamos analisar as restrições impostas pelas interseções duplas. Por exemplo, a interseção S∩H = 350 significa que há 350 residências que recebem solar e hidroelétrica. Dessas 350, algumas podem também receber eólica (a interseção tripla), e outras não. A interseção tripla não pode exceder nenhuma das interseções duplas, então:
Essa é a restrição crucial! A interseção tripla não pode ser maior que a menor interseção dupla, que é 50 (solar e eólica). Portanto, o número máximo de residências atendidas pelas três fontes simultaneamente é 50, não mais que 50.
Vamos verificar se esse valor máximo é atingível. Se a interseção tripla for exatamente 50, então:
S∩E = 50, e todos esses 50 também estão em H (pois fazem parte da interseção tripla).
H∩E = 150, então há 150 - 50 = 100 residências com hidroelétrica e eólica, mas não solar.
S∩H = 350, então há 350 - 50 = 300 residências com solar e hidroelétrica, mas não eólica.
Agora, vamos calcular quantas residências têm apenas uma fonte:
Somando tudo: 200 + 100 + 100 + 300 + 100 + 50 + 50 = 900. Isso é menor que 1000, então ainda há 100 residências que não recebem nenhuma das três fontes. Portanto, a configuração com interseção tripla = 50 é perfeitamente válida.
Agora, será que a interseção tripla pode ser menor que 50? Sim, claro. Por exemplo, se a interseção tripla for 0, podemos ter:
S∩E = 50 (todos sem H)
H∩E = 150 (todos sem S)
S∩H = 350 (todos sem E)
Apenas H: 650 - 350 - 150 = 150 Apenas S: 450 - 350 - 50 = 50 Apenas E: 250 - 150 - 50 = 50
Portanto, a interseção tripla pode variar de 0 a 50, e os dados fornecidos não são suficientes para determinar um valor exato. A afirmação de que "mais de 50 residências são atendidas simultaneamente" é falsa, pois o máximo possível é exatamente 50, e não mais que isso.
A pegadinha aqui é que o candidato pode tentar usar a fórmula da inclusão-exclusão e, ao encontrar a restrição superior de 200, pensar que a afirmação pode ser verdadeira. Mas a restrição mais forte vem das interseções duplas: a interseção tripla não pode exceder a menor interseção dupla. Como a menor interseção dupla é 50 (solar e eólica), a interseção tripla é no máximo 50.
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a tentação de aplicar a fórmula da inclusão-exclusão e achar que a interseção tripla pode ser até 200. Mas a restrição decisiva é que a interseção tripla não pode ultrapassar a menor interseção dupla (50). O candidato que não percebe isso pode marcar "Certo" pensando que os dados permitem mais de 50, quando na verdade o máximo é exatamente 50.
Fontes de energia elétrica — só Hidroelétrica: 200; só Solar: 100; só Eólica: 100; Hidroelétrica∩Solar: 300; Hidroelétrica∩Eólica: 100; Solar∩Eólica: 0; Hidroelétrica∩Solar∩Eólica: 50
Alternativa C — ❌ Incorreta
Afirma que os dados são suficientes para inferir que mais de 50 residências são atendidas pelas três fontes. Isso é falso, pois a interseção tripla é limitada pela menor interseção dupla (solar e eólica = 50), então o máximo possível é 50, não mais que isso. A afirmação de "mais de 50" é, portanto, impossível.
Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO
A alternativa correta é a que nega a afirmação. Os dados mostram que a interseção tripla não pode exceder 50, então a afirmação de que "mais de 50 residências são atendidas simultaneamente" é errada. O item está ERRADO.