Estatística · CESPE / CEBRASPE · 2023 | Questão sqc-ce156280

Coeficiente de correlação de Pearson: interpretação e armadilhas

Gabarito: letra C — apenas o item III está certo. O erro dos itens I e II está em confundir correlação com causalidade e em tratar $r=0$ como sinônimo de correlação espúria. O coeficiente de Pearson mede apenas a força e a direção da relação linear entre duas variáveis, e não estabelece relação de causa e efeito. A correlação espúria, por sua vez, é uma correlação alta que ocorre por acaso ou por uma causa comum, não por uma relação direta — e não tem relação com $r=0$ .

O coeficiente de correlação linear de Pearson, denotado por $r$ , é uma medida adimensional que varia no intervalo $[-1, 1]$ . Ele quantifica o grau de associação linear entre duas variáveis quantitativas $X$ e $Y$ . Valores próximos de $1$ indicam correlação linear positiva forte; próximos de $-1$ , correlação linear negativa forte; e próximos de $0$ , ausência de relação linear. É importante destacar que $r$ mede apenas a relação linear — se as variáveis seguem um padrão não linear (exponencial, polinomial, etc.), o coeficiente pode ser próximo de zero mesmo havendo uma relação forte.

A fórmula do coeficiente de Pearson é:

r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}}

Ou, equivalentemente, em termos de covariância e desvios padrão:

r = \frac{Cov(X, Y)}{s_X \cdot s_Y}

O ponto central da questão é a distinção entre correlação e causalidade. Uma correlação forte (alta ou baixa) não implica que uma variável cause a variação da outra. O exemplo clássico é a correlação entre o consumo de cerveja e o número de ataques de tubarão: ambos aumentam no verão, mas não há relação causal direta — a temperatura é a causa comum. Correlações espúrias são justamente aquelas que aparecem por acaso ou por uma causa comum, sem relação direta entre as variáveis.

Outro ponto importante: $r=0$ indica ausência de relação linear, mas não significa que as variáveis sejam independentes. Pode existir uma relação não linear (quadrática, exponencial, etc.) mesmo com $r=0$ . Além disso, $r=0$ não é sinônimo de correlação espúria — a espúria é uma correlação alta que não reflete causalidade.

Item	Afirmação avaliada	V/F	Justificativa
I	Correlação positiva implica causa e efeito	F	Correlação mede associação linear, não causalidade
II	r = 0 implica correlação espúria	F	r = 0 indica ausência de relação linear; espúria é correlação alta sem causalidade
III	Maior r ⇒ menor diferença entre estimados e reais	V	R² = r²; maior r ⇒ melhor ajuste ⇒ menores resíduos

Correlação de Pearson (r): O que mede (Força e direção da relação linear, Varia entre -1 e 1); O que NÃO mede (Causalidade (correlação ≠ causa), Relação não linear (r=0 não nega)); Correlação espúria (Correlação ALTA sem relação causal, Causa comum ou acaso, Não é r=0); r e ajuste do modelo (R² = r², Maior r → menor resíduo)

Item I — ❌ Incorreto

A afirmativa diz que "em uma correlação positiva, observa-se uma relação inequívoca de causa e efeito entre as variáveis X e Y". Isso é falso. Correlação positiva apenas indica que as variáveis tendem a variar no mesmo sentido: quando uma aumenta, a outra também tende a aumentar. Mas isso não estabelece causalidade. A correlação mede associação linear, não relação de causa e efeito. O erro é clássico: confundir correlação com causalidade. Uma correlação forte pode existir sem qualquer relação causal — como no exemplo do consumo de cerveja e ataques de tubarão.

Item II — ❌ Incorreto

A afirmativa diz que "se r = 0, então existe uma correlação espúria entre as variáveis X e Y". Isso é falso. $r=0$ indica ausência de relação linear entre as variáveis. Correlação espúria, por outro lado, é uma correlação alta que ocorre por acaso ou por uma causa comum, sem relação direta de causalidade. Ou seja, a espúria é uma correlação forte e enganosa — não tem nada a ver com $r=0$ . O erro está em inverter os conceitos: $r=0$ significa ausência de relação linear, enquanto a espúria é uma correlação alta sem causalidade.

Item III — ✅ Correto

A afirmativa diz que "quanto maior for o valor de r, menor será a diferença entre os valores estimados pelo modelo matemático e os valores reais obtidos pelo experimento". Isso é verdadeiro. O coeficiente de determinação $R^2 = r^2$ mede a proporção da variabilidade de Y explicada pelo modelo de regressão. Quanto maior $r$ (em valor absoluto), maior o $R^2$ , e melhor o ajuste do modelo — ou seja, menores são os resíduos (diferenças entre valores observados e estimados). Isso está diretamente ligado à soma dos quadrados dos resíduos: $SQE = \sum (Y_i - \hat{Y}_i)^2$ . Quanto maior $r$ , menor a $SQE$ relativa à variação total.

NÃO CAIA NESSA!

Para não errar em questões sobre correlação, lembre-se do mantra: correlação não implica causalidade. Sempre que a alternativa mencionar "causa e efeito", "causa", "efeito" ou "relação causal" junto com correlação, desconfie — é a pegadinha mais comum. E lembre-se: $r=0$ significa ausência de relação linear, não ausência de relação ou correlação espúria. A espúria é uma correlação alta sem causalidade.

Gabarito: letra C — apenas o item III está correto.

Questão de Estatística — Modelos lineares — CESPE / CEBRASPE 2023

Coeficiente de correlação de Pearson: interpretação e armadilhas

Item I — ❌ Incorreto

Item II — ❌ Incorreto

Item III — ✅ Correto